Vệt sóng hình chữ V sau thuyền: vì sao góc Kelvin luôn không đổi

Vệt sóng hình chữ V sau con thuyền hay con vịt đang bơi luôn mở ra một góc gần như không đổi, khoảng 19,5° mỗi bên (gần 39° cho cả chữ V), dù thuyền đi nhanh hay chậm, to hay nhỏ, miễn là nước đủ sâu. Huân tước Kelvin chứng minh điều này năm 1887. Lý do nằm ở một đặc điểm của sóng nước sâu: sóng dài chạy nhanh hơn sóng ngắn, và năng lượng của nhóm sóng chỉ đi với một nửa tốc độ của từng ngọn sóng. Hình học của hai điều ấy cho ra đúng một góc, có sin bằng một phần ba.

Ai cũng thấy, ít ai để ý góc

Đứng trên cầu nhìn xuống một con thuyền máy chạy trên sông, hay ngắm một con vịt bơi trong hồ, ta thấy phía sau chúng là một chữ V gồm những gợn sóng xiên. Bên trong chữ V còn có những ngọn sóng nằm ngang, vuông góc với hướng đi. Ít người để ý rằng chữ V của con vịt và chữ V của con tàu chở hàng có cùng độ mở, nếu nước đủ sâu và tàu không chạy quá nhanh.

Đó là phát hiện của nhà vật lý William Thomson, Huân tước Kelvin, người cũng nổi tiếng với thang nhiệt độ mang tên ông. Năm 1887, ông dùng toán học về sóng để chỉ ra rằng vệt sóng sau một vật chuyển động đều trên mặt nước sâu luôn nằm trong một hình nêm có nửa góc mở khoảng 19,47°. Từ đó người ta gọi nó là góc Kelvin, và vệt sóng là vệt sóng Kelvin.

Sóng nước sâu: dài thì nhanh, ngắn thì chậm

Sóng trên dây đàn chạy cùng tốc độ dù dài hay ngắn. Sóng trên mặt nước sâu thì không: sóng càng dài chạy càng nhanh. Với nước sâu (sâu hơn khoảng nửa bước sóng), tốc độ của một ngọn sóng là:

c ≈ √(g × λ ÷ 2π), với g ≈ 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường, λ là bước sóng.

Hiện tượng sóng có tốc độ khác nhau tuỳ bước sóng gọi là tán sắc. Một hệ quả lạ: một nhóm sóng (như một đám gợn khi ta ném hòn sỏi) di chuyển chỉ bằng một nửa tốc độ của các ngọn sóng bên trong nó. Nhìn kỹ một đám gợn trên hồ, ta thấy từng ngọn sóng xuất hiện ở phía sau nhóm, chạy lên phía trước rồi tắt dần ở đầu nhóm. Năng lượng đi theo nhóm, tức là đi chậm bằng một nửa.

Vì sao ra đúng 19,5°

Con thuyền liên tục tạo ra sóng ở mũi. Những sóng "sống sót" thành vệt sau thuyền là những sóng đứng yên so với thuyền, tức là ngọn của chúng giữ đúng nhịp với thuyền. Sóng ngang ở giữa vệt chạy cùng hướng với thuyền, nên tốc độ ngọn của nó bằng tốc độ thuyền. Sóng xiên ở hai cạnh chữ V chạy chéo, nên chỉ cần thành phần tốc độ theo hướng của nó khớp với thuyền.

Kelvin chỉ ra cách vẽ sau. Xét lúc thuyền ở một điểm phía sau vị trí hiện tại một quãng D. Vì năng lượng sóng chỉ lan với một nửa tốc độ ngọn sóng, toàn bộ năng lượng của những sóng "giữ nhịp với thuyền" phát ra từ điểm đó giờ nằm trên một vòng tròn bán kính D/4, có tâm cách thuyền 3D/4. Làm như vậy cho mọi điểm thuyền đã đi qua, ta được một dãy vòng tròn lớn dần về phía sau. Hai đường thẳng từ thuyền tiếp xúc với tất cả các vòng tròn ấy chính là hai cạnh chữ V. Sin của nửa góc mở bằng bán kính chia khoảng cách tới tâm: (D/4) ÷ (3D/4) = 1/3. Tra máy tính: arcsin(1/3) ≈ 19,47°. Điều đáng kinh ngạc là tốc độ thuyền đã bị triệt tiêu trong phép tính, nên góc không phụ thuộc vào tốc độ.

Tính thử: bước sóng của sóng ngang sau thuyền

Sóng ngang ở giữa vệt có tốc độ ngọn bằng tốc độ thuyền v. Từ công thức c = √(gλ ÷ 2π), suy ra bước sóng λ = 2π × v² ÷ g.

• Chiếc thuyền đi 3 m/s (khoảng 11 km/h): λ = 2 × 3,14 × 9 ÷ 9,8 ≈ 5,8 m.
• Thuyền đi 6 m/s (khoảng 22 km/h): λ = 2 × 3,14 × 36 ÷ 9,8 ≈ 23 m.
• Con vịt bơi 0,5 m/s: λ = 2 × 3,14 × 0,25 ÷ 9,8 ≈ 0,16 m, tức khoảng 16 cm.

Như vậy tốc độ quyết định khoảng cách giữa các ngọn sóng trong vệt, còn góc mở của chữ V thì giữ nguyên. Đứng trên cầu, ta có thể đếm khoảng cách giữa các sóng ngang so với chiều dài con thuyền để đoán xem nó chạy nhanh hay chậm. Đây cũng là lý do một thân thuyền dài có lợi về tốc độ: bài về thân thuyền đua dài và hẹp trong danh mục thuyền rồng kể kỹ hơn chuyện này.

Khi góc không còn là 19,5°

Năm 2013, hai nhà vật lý Marc Rabaud và Frédéric Moisy (Pháp) phân tích ảnh vệ tinh và ảnh chụp từ trên cao của nhiều con tàu, thấy rằng với những tàu chạy nhanh so với chiều dài thân, góc vệt sóng quan sát được nhỏ hơn 19,5° và giảm dần khi tốc độ tăng. Lý do là ở tốc độ cao, thân tàu không tạo ra đủ sóng dài để vẽ rõ toàn bộ hình nêm Kelvin. Kết quả này bổ sung chứ không bác bỏ Kelvin: hình nêm vẫn là giới hạn ngoài, chỉ là phần sóng thấy rõ nhất nằm hẹp hơn.

Tự thử: tìm chữ V quanh mình

Quan sát ngoài trời

1. Chọn một cây cầu đi bộ qua sông, kênh hoặc bờ hồ có vịt, thuyền. Đứng chỗ an toàn có lan can, có người lớn đi cùng.
2. Chụp ảnh từ trên cao xuống khi một chiếc thuyền hoặc con vịt đi qua, cố giữ máy song song mặt nước.
3. Về nhà, in ảnh hoặc mở trên máy tính, kẻ một đường theo hướng đi và hai đường theo hai cạnh chữ V. Dùng thước đo độ đo góc mỗi bên. Có gần 19,5° không?
4. So sánh vệt của vật đi chậm và vật đi nhanh.

Thử trong bồn tắm hay chậu lớn

1. Đổ nước vào bồn tắm hoặc chậu thật rộng, sâu ít nhất 10 cm, để mặt nước lặng.
2. Kéo một vật nhỏ như cán thìa, đầu bút chì nhúng vào nước khoảng 1 cm, đi thẳng đều với tốc độ chừng 30–50 cm mỗi giây.
3. Bật đèn chiếu xiên hoặc nhìn ánh phản chiếu của trần nhà để thấy vệt sóng. Thử chậm hơn: dưới khoảng 20 cm mỗi giây, vệt chữ V gần như biến mất, chỉ còn gợn nhỏ phía trước.

Trong chậu nhỏ, sóng dội lại từ thành chậu sẽ làm rối hình; bồn càng rộng càng dễ thấy. Không dùng thiết bị điện gần nước. Trẻ nhỏ làm có người lớn trông.

Góc nhìn hôm nay

Góc Kelvin là ví dụ đẹp về một quy luật "phổ quát": cùng một con số áp dụng cho con vịt và con tàu khổng lồ. Hiểu vệt sóng giúp các kỹ sư thiết kế thân tàu ít tạo sóng, giảm sóng đánh vào bờ sông làm sạt lở, và đặt giới hạn tốc độ cho thuyền trên kênh rạch hẹp. Lần tới đi đò, đi phà hay ngồi bờ hồ, hãy để ý chữ V và nhớ rằng nó luôn mở cùng một góc. Nguồn đọc thêm: phần sóng mặt nước trong giáo trình cơ học chất lỏng, các bài phổ biến về "Kelvin wake", và ảnh vệ tinh vệt tàu trên biển.