Mọi dải hoa văn diềm — loại hoa văn chạy dài lặp đi lặp lại trên viền áo, mép bát, chân tường, khung cửa — dù đẹp và đa dạng đến đâu cũng chỉ thuộc về đúng bảy kiểu đối xứng. Bảy kiểu này được phân biệt bằng năm phép biến hình: tịnh tiến, lật gương dọc, lật gương ngang, quay nửa vòng và "lật trượt". Biết bảy kiểu, bạn có thể nhìn bất kỳ đường viền nào và gọi đúng tên nó, giống như người quen nghe nhạc chỉ cần một đoạn là đoán ra nhịp.
Dải diềm là gì trong mắt nhà toán học
Trong toán học, một dải diềm (tiếng Anh: frieze) là một hình trang trí:
- nằm trong một dải hẹp, dài vô tận theo một chiều (ta hình dung nó nằm ngang);
- lặp lại đều đặn: dịch cả dải sang trái hoặc phải một khoảng cố định, dải trùng khít với chính nó.
Phép dịch ấy gọi là tịnh tiến, và mọi dải diềm đều có. Cái làm các dải khác nhau là chúng có thêm những phép đối xứng nào khác. Chỉ có bốn phép có thể giữ một dải nằm ngang vẫn nằm ngang:
| Phép biến hình | Làm gì với dải | Ví dụ dễ hình dung |
|---|---|---|
| Lật gương dọc | Soi qua một đường thẳng đứng | Chữ A, chữ M soi gương |
| Lật gương ngang | Soi qua đường giữa nằm ngang của dải | Chữ B, chữ D lật lên xuống |
| Quay nửa vòng (180°) | Xoay dải quanh một điểm | Chữ N, chữ S xoay ngược |
| Lật trượt | Lật qua đường giữa nằm ngang rồi trượt đi nửa bước | Dấu chân trái, chân phải xen kẽ |
Tổ hợp các phép này một cách nhất quán, người ta chứng minh được chỉ có bảy khả năng. Không hơn, không kém. Ở mặt phẳng phủ kín hai chiều, con số tương ứng là 17 nhóm hoa văn tường.
Bảy kiểu, đặt tên bằng dấu chân
Nhà toán học John Conway đề xuất một cách gọi tên rất dễ nhớ: mỗi kiểu ứng với một cách đi của dấu chân trên cát. Dưới đây là bảng tóm tắt, kèm ví dụ dùng chữ cái — bạn có thể tự viết ra giấy để kiểm tra.
| # | Tên theo Conway | Có những đối xứng gì (ngoài tịnh tiến) | Ví dụ bằng chữ | Dấu chân |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Nhảy lò cò (hop) | Không có gì thêm | L L L L | Chỉ một chân, nhảy về phía trước |
| 2 | Bước đi (step) | Lật trượt | b p b p | Trái, phải xen kẽ như đi bộ |
| 3 | Đi ngang (sidle) | Gương dọc | b d b d | Hai bàn chân đi ngang như cua |
| 4 | Lò cò xoay (spinning hop) | Quay 180° | N N N N | Lò cò, cứ mỗi bước lại quay đầu |
| 5 | Đi ngang xoay (spinning sidle) | Gương dọc, lật trượt, quay 180° | b d p q b d p q | Đi ngang, lần lượt đổi chiều |
| 6 | Nhảy chụm (jump) | Gương ngang (kèm lật trượt) | B B B B | Hai chân nhảy chụm về phía trước |
| 7 | Nhảy chụm xoay (spinning jump) | Cả gương dọc, gương ngang, quay 180° | H H H H | Hai chân chụm, nhảy rồi xoay |
Mẹo kiểm tra từng ví dụ
- b p b p: lật chữ b qua đường ngang được chữ p. Vậy dải có lật trượt, nhưng không có gương dọc (b soi gương dọc thành d, không có trong dải).
- b d b d: b và d soi gương dọc vào nhau. Không có gương ngang (b lật ngang thành p, không có).
- N N N N: chữ N xoay 180° vẫn là N. Nhưng soi gương dọc lại thành chữ N ngược, không có trong dải.
- H H H H: chữ H đối xứng theo mọi hướng, nên dải có đủ cả.
Dải sóng uốn lượn thuộc kiểu nào
Đây là câu hỏi đúng tinh thần của trang này. Hãy vẽ một đường lượn sóng đều đặn kiểu hình sin chạy dọc dải: lên đỉnh, xuống đáy, lên đỉnh. Nó có những đối xứng gì?
- Gương dọc: có, đặt gương thẳng đứng ở đúng đỉnh sóng hoặc đáy sóng, hai bên trùng nhau.
- Quay 180°: có, quay quanh điểm sóng cắt đường giữa, nửa lên đổi thành nửa xuống và ngược lại.
- Lật trượt: có, lật cả dải qua đường giữa (đỉnh thành đáy) rồi trượt nửa bước sóng, dải trùng khít.
- Gương ngang: không, vì lật lên xuống thì đỉnh thành đáy ở đúng chỗ đó, không trùng.
Vậy đường sóng uốn lượn đơn giản thuộc kiểu 5 — "đi ngang xoay". Nếu bạn vẽ hai đường sóng ngược pha nhau lồng vào nhau (như hai sợi dây bện), dải được thêm gương ngang và chuyển sang kiểu 7.
Còn hoa văn "hồi văn" — dải hình chữ nhật gấp khúc vuông góc liên tục, rất hay gặp trên đồ gốm, khung cửa, viền áo Việt Nam và Trung Hoa — người phương Tây gọi là meander, theo tên con sông Maiandros (nay là sông Büyük Menderes ở Thổ Nhĩ Kỳ) nổi tiếng quanh co từ thời Hy Lạp cổ. Tuỳ cách vẽ từng biến thể, hồi văn có thể rơi vào những kiểu khác nhau; hãy tự kiểm tra với mẫu bạn gặp.
Cách nhận diện một dải diềm trong 30 giây
Khi gặp một đường viền hoa văn, hãy hỏi lần lượt ba câu:
- Có gương ngang không? (Gấp đôi dải theo đường giữa nằm ngang, hai nửa có trùng không?)
- Có gương dọc không? (Có chỗ nào đặt gương thẳng đứng mà hai bên giống hệt?)
- Có quay nửa vòng không? (Xoay ngược quyển sách 180°, dải có trông y như cũ?)
| Gương ngang | Gương dọc | Quay 180° | Kết luận |
|---|---|---|---|
| Có | Có | (tự có) | Kiểu 7 |
| Có | Không | Không | Kiểu 6 |
| Không | Có | Có | Kiểu 5 |
| Không | Có | Không | Kiểu 3 |
| Không | Không | Có | Kiểu 4 |
| Không | Không | Không | Kiểu 1 hoặc kiểu 2 — kiểm thêm lật trượt |
Lưu ý màu sắc: nếu tính cả màu thì một dải có thể mất bớt đối xứng. Khi phân loại, hãy thống nhất trước là xét hình dạng thôi hay xét cả màu.
Vì sao chỉ có bảy
Không cần chứng minh chặt chẽ, ta vẫn hiểu được ý chính. Các phép đối xứng của một dải ngang phải giữ dải nằm ngang, nên chỉ còn bốn phép kể trên. Hai câu hỏi then chốt là: có gương ngang không (có/không) và có gương dọc không (có/không) — được bốn trường hợp. Trong mỗi trường hợp, lại xét có quay 180° hay lật trượt không. Một số tổ hợp tự kéo theo nhau (có cả hai gương thì bắt buộc có quay 180°), một số tổ hợp mâu thuẫn. Đếm kỹ, chỉ còn bảy trường hợp khác nhau thật sự.
Đây là kiểu lập luận rất đặc trưng của toán học: không đi thử mọi hoa văn có thể vẽ (vô hạn), mà phân loại theo cấu trúc, rồi chứng minh danh sách đã đủ.
Tự thử: in dải diềm bằng giấy can
Chuẩn bị: giấy can (hoặc giấy nến mỏng nhìn xuyên được), bút chì, bút màu, một băng giấy trắng dài khoảng 40 cm, rộng 5 cm.
- Vẽ một hình nhỏ không đối xứng lên giấy can, cao khoảng 3 cm: một chiếc lá cong, một con cá, một nét móc. Hình càng "lệch" càng tốt.
- Kiểu 1: đặt giấy can lên băng giấy, đồ lại hình. Dịch giấy can sang phải 4 cm, đồ tiếp. Lặp lại.
- Kiểu 2: đồ hình, rồi lật úp giấy can (mặt trên xuống dưới) và dịch 4 cm, đồ tiếp. Lật lại, dịch 4 cm, đồ. Cứ xen kẽ.
- Kiểu 3: đồ hình, rồi lật giấy can theo chiều trái – phải, đặt sát bên cạnh như soi gương, đồ tiếp.
- Thử tự tạo bốn kiểu còn lại bằng cách phối hợp lật và xoay giấy can.
Cả lớp có thể chia thành bảy nhóm, mỗi nhóm làm một kiểu, rồi dán bảy băng giấy thành một tấm "bảng tuần hoàn của hoa văn" treo trên tường.
Đi săn hoa văn quanh nhà và ở bảo tàng
Bảy kiểu dải diềm có mặt khắp nơi, chỉ cần để ý:
- Trong nhà: viền gạch ốp tường, mép bát đĩa, đường viền rèm cửa, hoa văn trên khăn trải bàn.
- Trên quần áo: viền áo dân tộc, dải thổ cẩm, đường thêu tay áo.
- Ở bảo tàng: các vành hoa văn đồng tâm trên mặt trống đồng Đông Sơn, các băng trang trí trên gốm cổ. Bảo tàng Lịch sử quốc gia ở Hà Nội là nơi xem rất tốt. Hoa văn trang trí còn là cả một đề tài mỹ thuật; ở đây bạn chỉ cần mang theo bảng ba câu hỏi để đoán kiểu.
- Trên phố: lan can sắt, hàng rào, gạch lát vỉa hè.
Chụp ảnh từng dải bạn gặp, ghi kiểu số mấy. Gom đủ bảy kiểu là bạn đã có một bộ sưu tập toán học thật sự.
Câu hỏi thường gặp
Có bao nhiêu kiểu hoa văn diềm?
Có đúng bảy kiểu đối xứng cho hoa văn diềm, tức các dải hoa văn lặp lại theo một chiều. Chúng khác nhau ở chỗ có hay không có gương dọc, gương ngang, quay 180° và lật trượt. Mọi đường viền trang trí đều thuộc một trong bảy kiểu này.
Lật trượt là gì?
Lật trượt là phép lật một hình qua một đường thẳng rồi trượt nó dọc theo chính đường thẳng đó. Ví dụ dễ thấy nhất là dấu chân người đi bộ: dấu chân trái lật qua đường giữa và trượt lên nửa bước thành dấu chân phải.
Đường lượn sóng thuộc kiểu hoa văn diềm nào?
Một đường lượn sóng đều đặn có gương dọc ở đỉnh và đáy sóng, có tâm quay 180° ở chỗ cắt đường giữa và có lật trượt, nhưng không có gương ngang. Vì vậy nó thuộc kiểu thứ năm, theo cách gọi của Conway là "đi ngang xoay".
Hoa văn diềm khác hoa văn lát nền thế nào?
Hoa văn diềm lặp lại theo một chiều trong một dải hẹp và có bảy kiểu đối xứng. Hoa văn lát nền lặp lại theo hai chiều phủ kín mặt phẳng và có 17 kiểu đối xứng.
Hồi văn là gì?
Hồi văn là hoa văn dải gồm các nét gấp khúc vuông góc chạy liên tục, rất phổ biến trên gốm, kiến trúc và trang phục Á Đông. Người phương Tây gọi kiểu hoa văn tương tự là meander, theo tên một con sông quanh co ở Thổ Nhĩ Kỳ ngày nay.
