Nghệ thuật căng chỉ: vẽ đường cong chỉ bằng những đoạn thẳng

Nghệ thuật căng chỉ là cách tạo ra đường cong chỉ bằng những đoạn thẳng: căng chỉ hoặc kẻ thước nối các điểm theo một quy luật đều đặn, và đường cong tự hiện ra ở chỗ các đoạn thẳng xếp sát nhau. Cách đơn giản nhất — nối điểm 1 trên trục này với điểm 10 trên trục kia, điểm 2 với điểm 9, và cứ thế — cho ra một cung parabol. Toán học gọi đường cong ấy là "đường bao" của họ đoạn thẳng.

Đường cong không ai vẽ

Điều kỳ diệu của căng chỉ là: bạn không hề vẽ một nét cong nào, vậy mà mắt nhìn thấy một đường cong rất mượt. Đó là vì mỗi đoạn thẳng chỉ "chạm" vào đường cong tại một điểm — nó là một tiếp tuyến. Khi có đủ nhiều tiếp tuyến xếp sát nhau, mép ngoài của cả chùm đoạn thẳng hiện lên như một đường cong liền.

Hãy hình dung một hàng rào cọc tre nghiêng dần đều: từng cây cọc thẳng, nhưng đỉnh của cả hàng rào vẽ thành một đường cong. Đường cong đó gọi là đường bao — nó bao lấy, ôm lấy mọi đoạn thẳng.

Người mang căng chỉ vào lớp học

Nhiều tài liệu lịch sử giáo dục toán ghi nhận Mary Everest Boole (1832–1916), vợ nhà toán học George Boole, là người khởi xướng việc dùng "khâu đường cong" (curve stitching) để dạy trẻ em hình học. Bà là một nhà giáo dục tự học, có những ý tưởng rất tiến bộ về việc cho trẻ học toán bằng tay. Ý tưởng của bà: trẻ dùng kim chỉ khâu lên tấm bìa đục lỗ theo quy luật, và qua đó cảm nhận đường cong trước khi biết phương trình.

Đến thập niên 1960–1970, căng chỉ trên tấm gỗ đóng đinh trở thành một phong trào thủ công trang trí rất phổ biến ở châu Âu, Mỹ. Ngày nay nó vẫn là một bài học quen thuộc trong các lớp toán – mỹ thuật kết hợp ở nhiều nước.

Bài 1: Cung parabol từ một góc vuông

Đây là bài khởi động, làm bằng bút chì và thước trên giấy là đủ.

1. Vẽ một góc vuông: một tia nằm ngang, một tia thẳng đứng, chung gốc O. Mỗi tia dài 10 cm.
2. Trên tia ngang, đánh dấu các điểm cách O lần lượt 1, 2, 3… 9 cm. Trên tia đứng cũng đánh dấu như vậy.
3. Nối điểm cách O 1 cm trên tia ngang với điểm cách O 9 cm trên tia đứng; 2 cm với 8 cm; 3 cm với 7 cm… cho tới 9 cm với 1 cm. Tổng hai khoảng cách luôn bằng 10 cm.
4. Nhìn vào chùm 9 đoạn thẳng: một đường cong mượt hiện ra, phần bụng cong khum về phía góc O.

Muốn mượt hơn, đánh dấu mỗi 5 mm thay vì mỗi 1 cm, vẫn giữ quy tắc tổng hai khoảng cách bằng 10 cm. Muốn rực rỡ hơn, làm bốn góc vuông quay lưng vào nhau quanh một tâm, được một ngôi sao bốn cánh cong.

Vì sao đó là parabol

Đặt góc O làm gốc toạ độ, tia ngang là trục x, tia đứng là trục y, mỗi tia dài n. Đoạn thẳng thứ k nối điểm (k; 0) với điểm (0; n − k). Như vậy hai đầu đoạn thẳng có toạ độ cộng lại luôn bằng n. Họ các đường thẳng này có đường bao là đường cong thoả mãn:

√x + √y = √n

Biến đổi một chút, có thể chứng minh đây là một cung parabol, chỉ là parabol nằm nghiêng 45° chứ không đứng thẳng như đồ thị y = x² quen thuộc. Học sinh lớp 10–11 có thể kiểm tra: điểm giữa của đường bao nằm trên đường chéo y = x, tại x = y = n ÷ 4. Với n = 10 cm, điểm đó cách mỗi trục 2,5 cm. Đo trên hình vẽ của bạn xem có đúng không.

Ai đã học đồ hoạ máy tính sẽ nhận ra đây chính là cách dựng đường cong Bézier bậc hai, thứ nằm sau công cụ vẽ đường cong trong hầu hết phần mềm đồ hoạ.

Bài 2: Góc nhọn, góc tù cho đường cong khác nhau

Lặp lại bài 1 nhưng thay góc vuông bằng góc 60° hoặc góc 120°. Bạn sẽ thấy:

Cả ba vẫn là parabol, vì quy luật "chia đều hai cạnh, nối ngược thứ tự" luôn sinh ra parabol, chỉ khác độ mở. Vẽ ba góc đó liền nhau quanh một tâm (60° × 6 = 360°), bạn được hình bông hoa sáu cánh cong.

Bài 3: Đường cong trên vòng tròn

Bây giờ đặt các điểm trên một vòng tròn thay vì trên hai tia thẳng.

1. Vẽ vòng tròn bán kính 8 cm. Dùng thước đo góc chia thành 36 điểm, mỗi điểm cách nhau 10°. Đánh số 0 đến 35.
2. Chọn một quy luật nhân, ví dụ "nhân 2": nối điểm 1 với điểm 2, điểm 2 với điểm 4, điểm 3 với điểm 6… Khi kết quả vượt 35 thì trừ đi 36 (điểm 20 nối với điểm 40 − 36 = 4).
3. Nối đủ 36 đoạn, nhìn hình hiện ra.

Với quy luật nhân 2, hình bao là một đường hình trái tim, gọi là cardioid. Với nhân 3, bạn được hình hai thuỳ như hạt đậu, gọi là nephroid. Nhân 4 cho ba thuỳ, nhân 5 cho bốn thuỳ. Quy luật chung: nhân m thì được m − 1 thuỳ. Đây là cách rất hay để học sinh tự phát hiện một quy luật rồi kiểm chứng.

Thử thách cho người thích đếm

• Với 36 điểm và quy luật nhân 37, điều gì xảy ra? (Gợi ý: 37 trừ 36 bằng 1.)
• Với quy luật nhân 19 và 36 điểm, hình có giống nhân 2 không? Vì sao?
• Đổi số điểm thành 60, so sánh cardioid với bản 36 điểm: hình nào mượt hơn?

Từ giấy sang chỉ: làm một tấm căng chỉ an toàn

Khi đã quen trên giấy, bạn có thể làm tấm căng chỉ bằng chỉ màu. Cách an toàn cho học sinh nhỏ, không cần đinh và búa:

1. Lấy một tấm bìa cứng khổ A4 (bìa hộp giấy là được). Vẽ hình mẫu lên mặt sau.
2. Nhờ người lớn dùng dùi giấy hoặc bấm lỗ đục các lỗ theo các điểm đã đánh dấu, cách nhau khoảng 1 cm.
3. Dùng chỉ len hoặc chỉ thêu, quấn một mẩu băng dính quanh đầu chỉ cho cứng (như đầu dây giày) để luồn qua lỗ mà không cần kim.
4. Luồn chỉ theo quy luật, mặt trước tạo đoạn thẳng, mặt sau chỉ chạy sang lỗ kế tiếp. Dán băng dính cố định hai đầu chỉ ở mặt sau.

Học sinh lớn hơn có thể làm trên tấm gỗ với đinh nhỏ đóng sẵn, nhưng việc đóng đinh nên có người lớn đi cùng. Chọn chỉ màu tương phản với nền: chỉ trắng trên nền xanh đậm, chỉ vàng trên nền đen cho đường bao nổi rõ nhất.

Căng chỉ ngoài đời: cầu dây văng và mái lưới

Nhìn một cây cầu dây văng từ xa: các sợi cáp thẳng căng từ tháp xuống mặt cầu, và nhiều khi mép của chùm cáp cho cảm giác một đường cong — cùng nguyên lý đường bao. Các kiến trúc sư cũng dùng ý tưởng "mặt cong dựng từ đường thẳng" để xây những mái vỏ, tháp làm mát nhà máy điện, vì thanh thẳng dễ chế tạo hơn thanh cong. Mặt cong dựng toàn bằng đường thẳng như vậy trong toán gọi là mặt kẻ.

Bạn có thể tự thấy điều này bằng một thí nghiệm nhỏ: cắm khoảng 12 que xiên tre thẳng đứng giữa hai nắp hộp tròn, rồi xoay nắp trên đi một góc. Các que vẫn thẳng, nhưng cả chùm que tạo thành một mặt cong thắt eo ở giữa như cái ống chỉ. Làm bằng que đầu tù, hoặc cắt bỏ đầu nhọn trước.