Độ uốn khúc của sông và số π: chuyện thật hay lời đồn

Câu "độ uốn khúc trung bình của các dòng sông bằng số π" là một nửa sự thật. Nó bắt nguồn từ một mô hình máy tính của nhà địa chất Hans-Henrik Stølum đăng trên tạp chí Science năm 1996, cho thấy sông uốn khúc tự do có xu hướng dao động quanh tỉ lệ 3,14. Nhưng khi đo sông thật, phần lớn các con sông có độ uốn khúc thấp hơn nhiều, thường chỉ từ 1,1 đến khoảng 2. Bài này giải thích con số ấy từ đâu ra và hướng dẫn bạn tự đo một con sông trên bản đồ.

Độ uốn khúc là gì

Độ uốn khúc (tiếng Anh: sinuosity) là một tỉ số đơn giản:

Độ uốn khúc = chiều dài thật của dòng sông ÷ khoảng cách đường chim bay giữa hai đầu đoạn sông.

Một kênh đào thẳng tắp có độ uốn khúc bằng 1. Sông càng quanh co, tỉ số càng lớn. Vì là thương của hai độ dài, nó không có đơn vị và không phụ thuộc bạn đo bằng mét hay kilômét.

Các nhà địa mạo học hay dùng mốc khoảng 1,5 để chia: dưới mức đó gọi là sông tương đối thẳng hoặc hơi cong, trên mức đó gọi là sông uốn khúc. Mốc này là quy ước để phân loại, không phải một định luật tự nhiên.

Vì sao sông uốn khúc, vì sao khúc uốn bị cắt đứt thành hồ móng ngựa — những chuyện đó thuộc về địa mạo học, bài này không đi sâu. Ở đây ta chỉ làm toán với con số.

Từ nửa vòng tròn đến số π

Hãy tưởng tượng một dòng sông lý tưởng gồm toàn những nửa vòng tròn nối tiếp nhau, uốn trái rồi uốn phải. Mỗi nửa vòng tròn bán kính r có chiều dài π × r, còn hai đầu của nó cách nhau đường kính 2r. Vậy độ uốn khúc của dòng sông này là:

π × r ÷ 2r = π ÷ 2 ≈ 1,57

Đó là con số π đầu tiên xuất hiện, nhưng mới là π chia đôi. Muốn đạt tới 3,14, các khúc uốn phải cong hơn nửa vòng tròn rất nhiều: mỗi khúc gần như vòng lại thành một chiếc vòng khép kín, đầu khúc này sát đầu khúc kia, như những chiếc khuyên nối nhau. Sông thật ở vùng đồng bằng rộng, đất mềm, đôi khi có những đoạn như vậy, ngay trước khi khúc uốn bị dòng nước cắt tắt.

Bảng tính thử với vài hình dạng

Dòng cuối là ước lượng thô, chỉ để thấy: muốn chạm tới π, khúc uốn phải cuộn lại gần ba phần tư vòng tròn. Đó là những khúc sông rất "già".

Stølum năm 1996 thật sự nói gì

Hans-Henrik Stølum không đi đo từng con sông. Ông dựng một mô hình máy tính: một dòng sông ảo tự uốn khúc theo quy luật xói lở bờ ngoài, bồi bờ trong, và khi hai khúc uốn chạm nhau thì dòng chảy "đi tắt", cắt bỏ khúc uốn đó. Mô hình chạy rất lâu cho thấy hai lực đối nghịch giữ thế cân bằng:

• Uốn khúc làm sông dài ra, độ uốn khúc tăng.
• Cắt tắt làm sông ngắn lại đột ngột, độ uốn khúc giảm.

Kết quả là độ uốn khúc trong mô hình dao động lên xuống quanh giá trị trung bình xấp xỉ 3,14. Ông xem đây là một ví dụ của hệ "tự tổ chức", giống cách một đống cát đổ thêm hạt sẽ tự giữ độ dốc quanh một giá trị.

Điều quan trọng: kết quả này đúng cho sông uốn khúc tự do, chảy trên đồng bằng phẳng, đất dễ xói, không bị núi, đá cứng hay con người chặn lại, và đủ lâu để đạt cân bằng. Rất ít sông thật thoả hết các điều kiện ấy.

Sông thật thì sao

Khi các nhà nghiên cứu và cả những người yêu toán tự đo trên bản đồ, kết quả chung là:

• Phần lớn các con sông, tính trên một đoạn dài, có độ uốn khúc nằm trong khoảng 1,1 đến 2.
• Một số đoạn sông đồng bằng rất quanh co có thể vượt 2, thậm chí lên gần 3 trên một khúc ngắn.
• Giá trị trung bình của "mọi con sông" tuỳ thuộc rất nhiều vào chọn sông nào, đo đoạn nào, dùng bản đồ tỉ lệ nào — nên không có một con số chung được công nhận.

Vì vậy, khi đọc trên mạng rằng "mọi con sông đều uốn khúc bằng π", hãy hiểu đó là cách nói giật gân một kết quả mô hình đẹp. Câu đúng hơn là: trong mô hình của Stølum, sông uốn khúc tự do dao động quanh π; sông thật thường thấp hơn vì bị địa hình ràng buộc.

Bẫy của tỉ lệ bản đồ

Đo cùng một con sông trên bản đồ tỉ lệ 1 : 1 000 000 và 1 : 50 000 sẽ ra hai con số khác nhau: bản đồ chi tiết hơn vẽ được nhiều khúc lượn nhỏ hơn nên chiều dài sông tăng lên. Đây là họ hàng của "nghịch lý đường bờ biển": thước càng nhỏ, đường đo được càng dài. Khi so sánh độ uốn khúc của hai con sông, phải đo trên bản đồ cùng tỉ lệ.

Tự đo độ uốn khúc của một con sông

Bài thực hành này hợp cho một tiết toán hoặc địa lý, làm theo nhóm 3–4 bạn.

Chuẩn bị: một tập bản đồ giấy (atlat địa lý) hoặc bản đồ trên máy tính có công cụ đo khoảng cách; một sợi chỉ dài khoảng 50 cm; thước kẻ; bút.

1. Chọn đoạn sông. Chọn một đoạn dài vừa phải, có hai đầu dễ nhận ra (một ngã ba sông, một cây cầu). Ghi lại tỉ lệ bản đồ.
2. Đo chiều dài thật. Đặt sợi chỉ chạy theo đúng giữa lòng sông, ép theo từng khúc uốn. Đánh dấu hai đầu, kéo thẳng sợi chỉ và đo bằng thước. Trên bản đồ số, dùng công cụ đo nhiều điểm, bấm theo từng khúc uốn.
3. Đo đường chim bay. Đặt thước nối thẳng hai đầu đoạn sông.
4. Chia. Lấy chiều dài theo sợi chỉ chia cho đường chim bay.
5. So sánh. Mỗi nhóm đo một sông khác nhau, hoặc cùng một sông ở thượng nguồn và hạ lưu. Ghi kết quả lên bảng.

Ví dụ tính

Giả sử trên bản đồ, sợi chỉ theo dòng sông dài 18,6 cm, còn thước nối hai đầu đo được 11,2 cm. Độ uốn khúc ≈ 18,6 ÷ 11,2 ≈ 1,66 — một đoạn sông uốn khúc rõ rệt, nhưng còn xa π. Không cần đổi ra kilômét, vì tỉ lệ bản đồ triệt tiêu khi chia.

Hầu như lớp nào làm bài này cũng thấy: đoạn thượng nguồn chảy giữa núi thường gần thẳng, đoạn hạ lưu qua đồng bằng quanh co hơn. Đó là điều địa lý dạy, giờ được kiểm chứng bằng chính con số các bạn đo.

Bài học về cách đọc một "sự thật toán học" trên mạng

Câu chuyện sông và số π là ví dụ tốt để tập thói quen kiểm tra:

• Ai nói, nói ở đâu? Ở đây là một bài báo khoa học có thật (Stølum, Science, 1996).
• Kết quả về cái gì? Về một mô hình sông lý tưởng, không phải số đo của mọi con sông.
• Có ai kiểm lại chưa? Những lần đo sông thật cho thấy con số thường nhỏ hơn.
• Con số có phụ thuộc cách đo không? Có, rất mạnh: tỉ lệ bản đồ, đoạn sông chọn.

Số π xuất hiện ở rất nhiều nơi bất ngờ, và đó là điều làm toán học đẹp. Nhưng chính vì π nổi tiếng, người ta cũng hay gán nó vào những chỗ nó chỉ ghé qua.