Khi một chú chó luôn chạy thẳng về phía chủ đang đi bộ trên một đường thẳng, nó không vẽ ra đường thẳng mà vẽ ra một đường cong, gọi là đường cong đuổi bắt. Đường cong này uốn dần về phía đường đi của chủ và chỉ gặp được chủ nếu chó chạy nhanh hơn. Nếu chó chạy nhanh gấp đôi chủ và xuất phát cách đường đi của chủ 100 m, nó sẽ đuổi kịp sau khi chạy khoảng 133 m.
Bài toán đuổi bắt là gì
Bài toán có hai nhân vật: con mồi di chuyển theo một quy luật biết trước (thường là đường thẳng, tốc độ đều) và kẻ đuổi lúc nào cũng hướng mũi thẳng về vị trí hiện tại của con mồi. Kẻ đuổi không "đón đầu", không đoán trước — nó chỉ nhắm vào chỗ con mồi đang đứng ở mỗi khoảnh khắc.
Chính vì luôn nhắm vào vị trí hiện tại nên hướng chạy của kẻ đuổi đổi liên tục, và đường nó để lại là một đường cong. Đường cong đó bắt đầu gần như vuông góc với đường đi của con mồi, rồi xoay dần cho đến khi gần như song song, bám ngay sau lưng.
Lịch sử toán học thường ghi nhận nhà khoa học Pháp Pierre Bouguer là người phân tích bài toán này một cách bài bản vào năm 1732, với hình ảnh một con tàu đuổi theo một con tàu khác trên biển. Cái tên tiếng Pháp courbe de poursuite — đường cong đuổi bắt — có từ thời đó.
Tự vẽ đường đuổi bắt bằng thước và bút chì
Không cần giải phương trình vi phân, bạn vẫn vẽ được đường cong này bằng cách chia nhỏ thời gian thành từng bước. Chuẩn bị giấy kẻ ô (hoặc giấy A4 kẻ lưới 1 cm), thước kẻ, bút chì hai màu.
- Kẻ một đường thẳng đứng ở mép trái tờ giấy: đây là đường đi của chủ. Đánh dấu điểm C₀ ở chân đường thẳng.
- Từ C₀ đo sang phải 10 cm, đánh dấu điểm D₀: chỗ chó đứng lúc đầu.
- Mỗi "bước thời gian", chủ đi lên 1 cm. Đánh dấu C₁, C₂, C₃… cách nhau 1 cm trên đường thẳng.
- Chó chạy nhanh gấp đôi, nên mỗi bước nó đi 2 cm. Đặt thước từ D₀ hướng về C₁, đo 2 cm, được D₁. Từ D₁ hướng về C₂, đo 2 cm, được D₂. Cứ thế.
- Nối các điểm D₀, D₁, D₂… bằng bút màu: đường cong đuổi bắt hiện ra.
Cách vẽ này là phép tính gần đúng — chính là ý tưởng mà máy tính dùng khi mô phỏng chuyển động. Bước càng nhỏ (ví dụ chủ đi 0,5 cm, chó đi 1 cm) thì đường càng sát với đường cong thật. Với tỉ lệ 10 cm và tốc độ gấp đôi như trên, bạn sẽ thấy chó bắt kịp chủ ở khoảng 6,7 cm phía trên điểm C₀.
Khi nào chó đuổi kịp, đuổi kịp ở đâu
Gọi khoảng cách ban đầu từ chó tới đường đi của chủ là a, tốc độ chủ là u, tốc độ chó là v, và tỉ số k = u ÷ v. Bài toán kinh điển có lời giải gọn:
- Nếu chó chạy nhanh hơn chủ (k nhỏ hơn 1), chó đuổi kịp tại điểm cách chỗ xuất phát của chủ một đoạn a × k ÷ (1 − k²).
- Quãng đường chó đã chạy là a ÷ (1 − k²).
- Thời gian đuổi là a × v ÷ (v² − u²).
Ví dụ bằng số
Chó đứng cách đường đi 100 m, chủ đi 1 m/s, chó chạy 2 m/s. Vậy k = 0,5 và 1 − k² = 0,75.
| Đại lượng | Cách tính | Kết quả |
|---|---|---|
| Chủ đi được tới chỗ gặp | 100 × 0,5 ÷ 0,75 | ≈ 66,7 m |
| Chó chạy được | 100 ÷ 0,75 | ≈ 133,3 m |
| Thời gian | 100 × 2 ÷ (4 − 1) | ≈ 66,7 giây |
Kiểm tra chéo: trong 66,7 giây, chủ đi 1 m/s được 66,7 m, chó chạy 2 m/s được 133,3 m. Khớp. Để ý chó chạy 133 m chứ không phải 100 m: phần dôi ra là cái giá của việc không đón đầu.
Nếu đón đầu thì sao
Một con chó "khôn" biết chạy thẳng tới điểm sẽ gặp chủ thì chạy theo đường thẳng. Gọi điểm gặp cách C₀ một đoạn y; chủ đi y mét trong khi chó chạy cạnh huyền √(100² + y²) với tốc độ gấp đôi, nên √(10 000 + y²) = 2y, suy ra y ≈ 57,7 m và chó chỉ chạy khoảng 115,5 m. Đường thẳng tiết kiệm gần 18 m so với đường cong. Đó là lý do cầu thủ giỏi luôn chạy về chỗ bóng sắp tới, không phải chỗ bóng đang ở.
Khi hai bên chạy bằng nhau
Nếu chó chạy đúng bằng tốc độ chủ (k = 1), công thức trên chia cho 0, nghĩa là không có điểm gặp. Nhưng điều thú vị là khoảng cách giữa hai bên không tăng mãi mà tiến dần tới đúng một nửa khoảng cách ban đầu. Chó xuất phát cách 100 m thì cuối cùng sẽ lẽo đẽo phía sau chủ khoảng 50 m, mãi mãi.
Còn khi chó chạy chậm hơn chủ, khoảng cách ngày càng xa. Đường cong vẫn uốn về phía đường đi của chủ nhưng không bao giờ chạm tới.
Bốn con bọ ở bốn góc hình vuông
Một biến thể nổi tiếng: bốn con bọ đứng ở bốn góc một hình vuông cạnh a. Cùng lúc, mỗi con bò thẳng về phía con bên cạnh theo chiều kim đồng hồ, cùng tốc độ. Chúng sẽ gặp nhau ở đâu, sau khi bò bao xa?
Vì tính đối xứng, bốn con bọ lúc nào cũng đứng ở bốn góc của một hình vuông nhỏ dần và xoay dần. Chúng gặp nhau đúng ở tâm. Mỗi con vẽ ra một đường xoắn ốc cuộn vào tâm (đó là xoắn ốc logarit, đường cong cũng thấy ở vỏ ốc anh vũ).
Câu trả lời cho quãng đường gây bất ngờ: mỗi con bọ bò đúng bằng cạnh hình vuông, a. Lý do: hướng bò của một con luôn vuông góc với hướng bò của con nó đuổi, nên con bị đuổi không hề chạy ra xa hay lại gần kẻ đuổi. Khoảng cách giữa hai con chỉ rút ngắn nhờ kẻ đuổi, với tốc độ đúng bằng tốc độ bò. Khoảng cách ban đầu là a, vậy đi a là gặp. Với ba con bọ ở ba đỉnh tam giác đều cạnh a, mỗi con bò 2a ÷ 3.
Tự thử ngoài sân trường
- Kẻ phấn một hình vuông cạnh 6 m trên sân. Bốn bạn đứng ở bốn góc, mỗi bạn chọn bạn bên phải mình làm "mục tiêu".
- Mỗi lần thầy cô vỗ tay, cả bốn cùng bước một bước ngắn (khoảng nửa mét) thẳng về phía mục tiêu. Bạn thứ năm đứng ngoài đánh dấu phấn chỗ chân từng bạn.
- Sau chừng 12 lần vỗ tay, bốn bạn gặp nhau ở giữa. Nối các dấu phấn: bốn đường xoắn cuộn vào tâm.
Đi chậm, bước ngắn, không chạy, vì càng gần tâm bốn bạn càng sát nhau.
Bài vẽ "hình vuông xoay" từ bốn con bọ
Bài toán bốn con bọ còn cho một hình trang trí rất đẹp mà nhiều giáo viên mỹ thuật dùng. Vẽ một hình vuông cạnh 16 cm. Trên mỗi cạnh, đánh dấu điểm cách góc 1,6 cm (một phần mười cạnh) theo cùng chiều kim đồng hồ. Nối bốn điểm đó, được một hình vuông nhỏ hơn, hơi xoay. Lặp lại với hình vuông mới khoảng 20–30 lần.
Các góc của những hình vuông lồng nhau tự xếp thành bốn đường xoắn — chính là đường đi của bốn con bọ, chỉ khác là mỗi bước bọ đi một phần mười khoảng cách. Tô màu xen kẽ các tam giác nhỏ, bạn có một tấm tranh xoắn ốc mà không cần compa. Làm tương tự với tam giác đều hay lục giác đều để thấy số đường xoắn bằng số đỉnh.
Đường đuổi bắt quanh ta
- Bơi qua sông có dòng chảy: người bơi nếu cứ nhắm thẳng vào một cái cây bên kia bờ sẽ bị dòng nước đẩy đi, và quỹ đạo là một đường đuổi bắt cong về phía hạ lưu rồi quặt ngược lên. Bài về chèo thuyền qua sông trong mục này giải thích cách tính bằng vectơ.
- Động vật săn mồi: các nhà sinh học khi quay phim chim ưng, ruồi săn mồi đã so sánh đường bay thật với đường đuổi bắt thuần tuý và đường "đón đầu"; nhiều loài dùng chiến thuật đón đầu ở mức nào đó, tức là khôn hơn con chó trong bài toán.
- Thể thao: hậu vệ bóng đá non kinh nghiệm hay chạy theo cầu thủ đối phương (đường đuổi bắt) và bị bỏ lại; người có kinh nghiệm chạy chéo cắt đường (đón đầu).
Bài học rút ra rất đời thường: nhắm vào chỗ mục tiêu đang ở luôn tốn đường hơn nhắm vào chỗ mục tiêu sẽ tới. Đường cong đuổi bắt là hình vẽ của sự chậm một nhịp ấy.
Câu hỏi thường gặp
Đường cong đuổi bắt là gì?
Đường cong đuổi bắt là quỹ đạo của kẻ đuổi khi nó luôn hướng thẳng về vị trí hiện tại của con mồi đang di chuyển. Vì hướng chạy thay đổi liên tục nên quỹ đạo là đường cong chứ không phải đường thẳng. Bài toán được Pierre Bouguer phân tích năm 1732.
Chó chạy nhanh gấp đôi chủ thì đuổi kịp sau bao xa?
Nếu chó xuất phát cách đường đi của chủ một khoảng a, nó chạy được a ÷ 0,75, tức khoảng 1,33a, thì đuổi kịp. Với a = 100 m, chó chạy khoảng 133 m còn chủ đi khoảng 67 m.
Nếu chó chạy bằng tốc độ chủ thì có đuổi kịp không?
Không. Khi hai bên cùng tốc độ, chó không bao giờ bắt kịp, nhưng khoảng cách cũng không tăng mãi mà tiến dần tới một nửa khoảng cách ban đầu. Chó xuất phát cách 100 m sẽ bám sau khoảng 50 m.
Bốn con bọ ở bốn góc hình vuông đuổi nhau thì mỗi con đi bao xa?
Mỗi con đi đúng bằng cạnh hình vuông. Hướng đi của mỗi con luôn vuông góc với hướng đi của con bị nó đuổi, nên khoảng cách giữa hai con chỉ giảm với tốc độ bằng tốc độ bò. Chúng gặp nhau ở tâm sau khi vẽ ra bốn đường xoắn ốc.
Đường cong đuổi bắt khác đường đón đầu thế nào?
Đường đuổi bắt nhắm vào vị trí hiện tại của mục tiêu nên cong và dài hơn. Đường đón đầu nhắm vào điểm sẽ gặp nên là đường thẳng và ngắn hơn. Trong ví dụ chó chạy nhanh gấp đôi, đón đầu chỉ cần khoảng 115 m thay vì 133 m.
