Đường cong rồng: gấp đôi dải giấy nhiều lần mà ra hình rồng uốn khúc

Đường cong rồng là hình gấp khúc hiện ra khi bạn gấp đôi một dải giấy nhiều lần theo cùng một chiều, rồi mở ra sao cho mỗi nếp gấp tạo thành một góc vuông. Gấp càng nhiều lần, đường gấp khúc càng uốn lượn, cuộn lại như thân một con rồng phương Đông mà không bao giờ tự cắt qua chính nó. Hình này được ba nhà vật lý của NASA tìm ra vào thập niên 1960 và nổi tiếng nhờ chuyên mục toán của Martin Gardner năm 1967.

Gấp thử trong năm phút

Đây là bài toán hiếm hoi mà bạn hiểu bằng tay trước, bằng đầu sau. Chuẩn bị một dải giấy dài, mỏng: một cuộn giấy in hoá đơn, hoặc cắt sẵn một băng giấy rộng khoảng 2 cm, dài 60–80 cm.

1. Cầm dải giấy nằm ngang. Gấp đôi, đưa đầu bên phải chồng lên đầu bên trái. Miết nếp.
2. Giữ nguyên chiều, gấp đôi lần nữa, vẫn đưa đầu phải sang trái. Làm tiếp cho đủ 4 hoặc 5 lần.
3. Mở dải giấy ra từ từ. Đặt nó đứng nghiêng trên mặt bàn sao cho mỗi nếp gấp mở đúng một góc vuông, không mở phẳng.
4. Nhìn từ trên xuống: bạn sẽ thấy một đường gấp khúc toàn góc vuông, quanh co như thân rồng đang cuộn.

Mấu chốt nằm ở chữ "cùng một chiều". Nếu lần này gấp sang trái, lần sau gấp sang phải, bạn sẽ được một hình khác. Và đừng mong gấp được quá 6–7 lần: dải giấy dày lên gấp đôi sau mỗi lần, đến lần thứ 7 đã là 128 lớp chồng nhau. Kỷ lục được nhắc nhiều nhất là của Britney Gallivan, một nữ sinh trung học ở Mỹ, gấp đôi một cuộn giấy rất dài 12 lần vào năm 2002 — và chị phải tính trước bằng công thức mới làm được.

Đếm nếp gấp: lũy thừa của 2 hiện ra

Mỗi lần gấp đôi, số lớp giấy tăng gấp đôi, nên số đoạn thẳng trên dải giấy khi mở ra cũng tăng gấp đôi. Số nếp gấp luôn ít hơn số đoạn một đơn vị.

Công thức gọn: gấp n lần thì có 2ⁿ đoạn và 2ⁿ − 1 nếp. Chọn dải giấy dài 64 cm là mẹo nhỏ để mỗi đoạn có số đo tròn, dễ kiểm tra bằng thước.

Dãy rẽ trái, rẽ phải bí mật

Khi mở dải giấy, mỗi nếp gấp là một chỗ "rẽ". Đi dọc dải giấy từ đầu này sang đầu kia, ghi P nếu rẽ phải, T nếu rẽ trái. Với cách gấp như trên, bạn sẽ được:

• Gấp 1 lần: P
• Gấp 2 lần: P P T
• Gấp 3 lần: P P T P P T T
• Gấp 4 lần: P P T P P T T P P P T T P T T

(Tuỳ bạn cầm dải giấy và đi từ đầu nào, có thể được dãy đổi P thành T, nhưng quy luật thì giống nhau.)

Quy luật sinh dãy

Nhìn kỹ, dãy sau được dựng từ dãy trước theo ba bước: chép nguyên dãy cũ, thêm một chữ P ở giữa, rồi viết dãy cũ theo thứ tự ngược lại và đổi P thành T, T thành P. Thử với dãy "P P T": đảo ngược thành "T P P", đổi chữ thành "P T T". Ghép lại: P P T + P + P T T = P P T P P T T. Đúng như khi gấp thật.

Lý do rất trực quan: lần gấp mới nhất tạo ra nếp ở chính giữa. Nửa dải giấy bên kia khi mở ra là nửa bên này bị lật ngược, nên thứ tự đảo lại và chiều rẽ cũng đảo.

Đoán nếp thứ k mà không cần gấp

Có một cách đoán nhanh hơn. Lấy số thứ tự k của nếp gấp, chia cho 2 đến khi được số lẻ. Nếu số lẻ đó chia 4 dư 1 thì là P, dư 3 thì là T. Ví dụ nếp thứ 12: 12 → 6 → 3; số 3 chia 4 dư 3, vậy là T. Đối chiếu với dãy gấp 4 lần ở trên: chữ thứ 12 đúng là T. Dãy này có tên trong sách toán là "dãy gấp giấy" và là ví dụ kinh điển của một dãy có quy luật chặt chẽ nhưng không lặp lại tuần hoàn.

Ai tìm ra con rồng giấy

Theo các tài liệu toán giải trí, hình này do ba nhà vật lý làm việc tại NASA là John Heighway, Bruce Banks và William Harter khảo sát vào thập niên 1960. Vì thế nó còn được gọi là "rồng Heighway" hay "rồng Harter–Heighway". Cái tên "rồng" xuất phát từ dáng hình: ở lần gấp thứ 10 trở lên, đường gấp khúc trông như một con rồng có đầu, có đuôi cuộn tròn.

Hình được biết rộng rãi sau khi Martin Gardner giới thiệu trong chuyên mục toán giải trí hằng tháng của ông trên tạp chí Scientific American năm 1967. Về sau, nhà văn Michael Crichton dùng các bước dựng đường cong rồng làm hình minh hoạ đầu các phần trong tiểu thuyết Công viên kỷ Jura, như một ẩn dụ cho sự hỗn loạn lớn dần từ quy tắc đơn giản.

Những điều kỳ lạ của đường cong rồng

Không bao giờ tự cắt

Dù gấp bao nhiêu lần, các đoạn của đường cong rồng không bao giờ chồng lên nhau. Chúng có thể chạm nhau ở góc, nhưng không có cạnh nào bị đi qua hai lần. Đây là điều đã được chứng minh, không chỉ quan sát. Khi vẽ trên giấy kẻ ô, bạn sẽ thấy đường cong như một người đi bộ trong mê cung mà khéo léo không bao giờ giẫm lại lối cũ.

Bốn con rồng lát kín mặt phẳng

Đặt bốn đường cong rồng cùng xuất phát từ một điểm, mỗi con xoay 90° so với con trước, chúng ghép khít với nhau, không chồng, không hở. Lặp lại mãi, bốn con rồng phủ kín cả mặt phẳng lưới ô vuông. Hai con rồng đặt lưng vào nhau tạo thành hình "rồng song sinh", cũng lát kín mặt phẳng theo cách riêng.

Phân hình: càng gấp càng giống chính nó

Nếu cứ gấp mãi rồi thu nhỏ hình cho vừa trang giấy, đường cong rồng tiến tới một hình giới hạn mà mỗi phần nhỏ là bản sao thu nhỏ của toàn bộ. Mỗi bước, hình mới bằng hai bản sao của hình cũ thu nhỏ theo tỉ lệ 1 : √2 (khoảng 0,707) và xoay 45°. Đường viền của hình giới hạn là một phân hình có số chiều khoảng 1,52 — nhiều hơn một đường thẳng, ít hơn một mặt phẳng. Phần bên trong thì phủ kín một vùng diện tích thật sự.

Vẽ đường cong rồng trên giấy kẻ ô

Không có dải giấy dài, bạn vẫn vẽ được rồng bằng bút chì và vở ô li, nhờ dãy P–T ở trên.

1. Chọn một điểm giữa trang, vẽ một đoạn dài 2 ô hướng sang phải.
2. Đọc lần lượt từng chữ trong dãy (ví dụ dãy 15 chữ của 4 lần gấp). Gặp P thì quay sang phải 90°, gặp T thì quay sang trái 90°, rồi vẽ tiếp một đoạn 2 ô.
3. Vẽ hết dãy, bạn được 16 đoạn — đúng con rồng của 4 lần gấp.

Muốn vẽ rồng lớn hơn, dùng quy luật "chép – thêm P – đảo và đổi" để viết dãy 31 chữ, 63 chữ. Tới khoảng 255 chữ (8 lần gấp), hình đã đủ đẹp để tô màu từng nửa rồi dán lên tường lớp. Nếu biết lập trình rùa trong Scratch hay Python, máy tính có thể vẽ con rồng hàng nghìn đoạn trong vài giây — bài về vẽ đường lượn bằng lập trình rùa trong cùng mục này có hướng dẫn.

Gấp giấy và toán học: còn gì để làm tiếp

Đường cong rồng là cửa ngõ vào một nhánh toán rất sống động: toán của gấp giấy. Các nhà toán học ngày nay dùng gấp giấy để nghiên cứu cách xếp tấm pin mặt trời của vệ tinh, cách gấp túi khí, cách thiết kế ống stent trong y học. Một vài hướng để học sinh đi tiếp:

• Đổi luật gấp: gấp xen kẽ trái – phải thay vì cùng chiều. Hình mở ra có còn là rồng không? Ghi dãy P–T và so sánh.
• Đổi góc mở: mở mỗi nếp 120° thay vì 90°. Hình thu được thay đổi ra sao?
• Đếm tổng số rẽ: trong dãy gấp n lần, có bao nhiêu chữ P, bao nhiêu chữ T? Gợi ý: số P luôn hơn số T đúng một.
• Đọc thêm: các tuyển tập chuyên mục của Martin Gardner (nhiều cuốn đã có bản dịch tiếng Việt về toán giải trí) và các bài phổ biến về phân hình.

Điều đáng mang về nhất có lẽ là: chỉ một động tác lặp đi lặp lại — gấp đôi — đã đủ sinh ra một hình phức tạp, có trật tự mà không tuần hoàn. Rất nhiều cấu trúc trong tự nhiên và kỹ thuật cũng sinh ra theo cách ấy.