Khi chèo thuyền qua một con sông có dòng chảy, vận tốc thật của thuyền so với bờ là tổng vectơ của hai vận tốc: vận tốc thuyền so với nước và vận tốc nước so với bờ. Muốn sang bờ nhanh nhất, hãy hướng mũi thuyền thẳng sang bờ bên kia và chấp nhận bị trôi; muốn cập đúng điểm đối diện, phải hướng mũi chếch lên thượng nguồn. Cả hai bài toán đều giải được bằng thước kẻ và một hình tam giác vuông.
Hai vận tốc, một chiếc thuyền
Hãy hình dung bạn ngồi trên một chiếc thuyền giữa sông, mắt chỉ nhìn mặt nước xung quanh. Bạn chèo đều, thuyền lướt đi theo hướng mũi với tốc độ, giả sử, 2 m/s. Đó là vận tốc của thuyền so với nước.
Nhưng cả khối nước — cùng chiếc thuyền trên đó — đang trôi xuôi dòng, giả sử 1,5 m/s. Đó là vận tốc của nước so với bờ.
Người đứng trên bờ thấy thuyền chuyển động theo cả hai cùng lúc. Vận tốc mà người trên bờ đo được là vận tốc của thuyền so với bờ, và nó bằng tổng của hai vận tốc kia — nhưng là tổng theo kiểu vectơ, tức có tính đến hướng, chứ không phải cộng hai con số.
Ghi gọn: v(thuyền/bờ) = v(thuyền/nước) + v(nước/bờ).
Cộng vectơ bằng hình vẽ
Một vectơ là một mũi tên: dài bao nhiêu cho biết độ lớn, chỉ hướng nào cho biết hướng. Cộng hai vectơ theo "quy tắc nối đuôi":
- Vẽ mũi tên thứ nhất.
- Đặt gốc mũi tên thứ hai vào đúng đầu mũi tên thứ nhất.
- Mũi tên nối từ gốc của mũi tên thứ nhất tới đầu của mũi tên thứ hai chính là tổng.
Chọn tỉ lệ: 1 cm trên giấy ứng với 0,5 m/s. Vậy vận tốc thuyền 2 m/s là mũi tên dài 4 cm, vận tốc nước 1,5 m/s là mũi tên dài 3 cm.
Bài toán 1: sang sông nhanh nhất
Sông rộng 60 m, nước chảy 1,5 m/s, thuyền chèo được 2 m/s so với nước. Bạn hướng mũi thuyền vuông góc với bờ.
- Vẽ mũi tên thuyền: 4 cm, thẳng lên (sang bờ bên kia).
- Nối đuôi mũi tên nước: 3 cm, sang phải (xuôi dòng).
- Mũi tên tổng nối từ gốc tới đầu: đo bằng thước được 5 cm — tức 2,5 m/s. Đây là tam giác vuông 3–4–5 quen thuộc.
| Đại lượng | Cách tính | Kết quả |
|---|---|---|
| Thời gian sang sông | Bề rộng ÷ thành phần vận tốc vuông góc bờ = 60 ÷ 2 | 30 giây |
| Bị trôi xuôi dòng | Vận tốc nước × thời gian = 1,5 × 30 | 45 m |
| Tốc độ so với bờ | √(2² + 1,5²) | 2,5 m/s |
| Quãng đường thật | 2,5 × 30, hoặc √(60² + 45²) | 75 m |
Điều đáng nhớ: dòng nước không làm thời gian sang sông dài thêm. Dù nước chảy chậm hay xiết, nếu mũi thuyền vuông góc bờ thì thời gian sang vẫn là 30 giây, vì dòng nước chỉ đẩy thuyền theo hướng song song bờ. Nó chỉ làm bạn cập bờ ở chỗ khác. Đây cũng là cách sang sông nhanh nhất có thể.
Bài toán 2: cập đúng bến đối diện
Giờ bạn muốn thuyền đi thẳng sang, cập đúng bến đối diện. Muốn vậy, mũi tên tổng phải vuông góc với bờ. Nghĩa là phần vận tốc thuyền hướng ngược dòng phải triệt tiêu đúng vận tốc nước.
Cách vẽ
Vẽ một tam giác vuông có cạnh huyền 4 cm (vận tốc thuyền), một cạnh góc vuông nằm ngang dài 3 cm hướng ngược dòng (phần thuyền phải chống lại nước). Cạnh góc vuông còn lại, thẳng đứng, là vận tốc thật sang sông. Đo được khoảng 2,65 cm, tức khoảng 1,32 m/s.
| Đại lượng | Cách tính | Kết quả |
|---|---|---|
| Góc chếch lên thượng nguồn so với hướng vuông góc bờ | sin góc = 1,5 ÷ 2 = 0,75 | ≈ 48,6° |
| Vận tốc sang sông | √(2² − 1,5²) = √1,75 | ≈ 1,32 m/s |
| Thời gian sang sông | 60 ÷ 1,32 | ≈ 45 giây |
Cập đúng bến tốn 45 giây, lâu hơn 15 giây so với bài toán 1, vì một phần sức chèo phải dùng để "đứng yên" so với dòng nước.
Khi nước chảy nhanh hơn thuyền
Nếu nước chảy 2,5 m/s mà thuyền chỉ chèo được 2 m/s, thử vẽ lại bài toán 2: cạnh huyền 4 cm phải ngắn hơn cạnh góc vuông 5 cm — không vẽ được tam giác nào cả. Nghĩa là không thể sang thẳng; chèo kiểu gì cũng bị trôi xuống hạ lưu.
Lúc đó câu hỏi thực tế là: trôi ít nhất bao nhiêu? Vẽ mũi tên nước dài 5 cm, rồi từ đầu mũi tên quay một vòng tròn bán kính 4 cm (mọi hướng chèo có thể). Hướng ít trôi nhất là đường thẳng từ gốc mũi tên nước tiếp xúc với vòng tròn. Học sinh lớp 10 có thể dùng hình vẽ này để tính góc; còn bài học thực tế thì rõ ràng: sông chảy xiết hơn sức chèo là sông không nên qua.
Cùng ý tưởng ở những nơi khác
Máy bay bay trong gió ngang
Phi công khi có gió thổi ngang đường băng phải cho mũi máy bay chếch về phía gió để máy bay vẫn đi đúng hướng mong muốn so với mặt đất — đúng bài toán 2, chỉ thay nước bằng không khí. Nhìn từ dưới đất, máy bay hạ cánh trong gió ngang trông như đang "bay nghiêng mình".
Người đi trên băng chuyền ở sân bay
Đi bộ 1,4 m/s trên băng chuyền chạy 0,8 m/s, hai vận tốc cùng hướng nên cộng thẳng: 2,2 m/s. Đi ngược băng chuyền: 1,4 − 0,8 = 0,6 m/s. Đây là phép cộng vectơ trong trường hợp hai mũi tên nằm trên cùng một đường thẳng.
Dòng rút ở bãi biển
Dòng rút (dòng nước mạnh chảy từ bờ ra khơi) là một ứng dụng mang tính sống còn của bài toán này. Lời khuyên an toàn phổ biến của các tổ chức cứu hộ là đừng bơi ngược thẳng vào bờ chống lại dòng rút, mà bơi song song với bờ để thoát khỏi luồng nước hẹp, rồi mới bơi vào. Nhìn bằng vectơ: bơi ngược dòng là đem sức mình đối đầu trực diện với dòng nước; bơi song song là đi theo hướng mà dòng không cản.
Tự thử: cộng vectơ bằng cây thước trượt
Thí nghiệm này mô phỏng con thuyền bằng một cây bút chì, làm trên bàn, không cần nước, cần hai bạn phối hợp.
- Dán cố định một tờ giấy khổ lớn (giấy vẽ A2 hoặc giấy gói quà) lên bàn bằng băng dính. Kẻ một vạch ngang ở mép dưới làm "bờ bên này", một vạch song song cách 30 cm làm "bờ bên kia". Tờ giấy là mặt đất, đứng yên.
- Bạn B đặt một cây thước dài vuông góc với hai bờ. Thước là "dòng nước mang theo con thuyền": khi có hiệu lệnh, B trượt cây thước sang phải thật đều, khoảng 20 cm trong 6 giây, luôn giữ thước vuông góc với bờ.
- Cùng lúc, bạn A đặt đầu bút chì ở bờ bên này, sát mép thước, và kéo bút dọc mép thước sang bờ bên kia, đều tay trong 6 giây. Bút là con thuyền, mép thước là hướng mũi thuyền.
- Nhìn nét bút trên tờ giấy: thay vì vạch thẳng đứng, bạn được một đường chéo — đường đi của thuyền so với bờ. Đo độ lệch: khoảng 20 cm, đúng bằng quãng thước đã trượt. Thuyền 5 cm/s, nước khoảng 3,3 cm/s.
- Thử lần hai: B vẫn trượt thước sang phải nhưng giữ thước nghiêng về phía trái (ngược chiều trượt) một góc. Tìm góc sao cho nét bút cập đúng điểm đối diện. Đo góc bằng thước đo góc và so với phép tính sin góc = 3,3 ÷ 5.
Ghi chú an toàn
Bài này là bài toán trên giấy. Ngoài đời, chèo thuyền, bơi qua sông luôn cần áo phao, có người lớn và người biết bơi đi cùng, và tránh tuyệt đối những đoạn sông chảy xiết, mùa nước lũ. Không có phép tính nào thay được áo phao.
Câu hỏi thường gặp
Chèo thuyền qua sông thế nào để sang nhanh nhất?
Hướng mũi thuyền vuông góc với bờ. Khi đó toàn bộ sức chèo dùng để sang sông, thời gian bằng bề rộng sông chia cho vận tốc thuyền so với nước, không phụ thuộc dòng chảy. Cái giá là thuyền bị trôi xuôi dòng một đoạn.
Muốn cập bến đối diện phải chèo chếch bao nhiêu độ?
Phải hướng mũi thuyền chếch lên thượng nguồn một góc có sin bằng vận tốc nước chia cho vận tốc thuyền. Ví dụ nước chảy 1,5 m/s, thuyền chèo 2 m/s thì góc khoảng 48,6° so với hướng vuông góc bờ. Nếu nước chảy nhanh hơn thuyền thì không thể sang thẳng.
Vận tốc của thuyền so với bờ tính thế nào?
Vận tốc của thuyền so với bờ là tổng vectơ của vận tốc thuyền so với nước và vận tốc nước so với bờ. Khi hai vận tốc vuông góc, độ lớn tổng tính bằng định lý Pythagore: ví dụ 2 m/s và 1,5 m/s cho 2,5 m/s.
Dòng nước có làm thuyền sang sông chậm hơn không?
Nếu mũi thuyền vuông góc với bờ thì không, vì dòng nước chỉ đẩy thuyền song song bờ. Nó chỉ làm thuyền cập bờ ở điểm lệch xuống hạ lưu. Còn nếu muốn cập đúng bến đối diện thì có, vì một phần sức chèo phải dùng để chống lại dòng.
