Có. Một con kiến bò đều trên một sợi dây chun bị kéo dãn đều mãi mãi vẫn tới được đầu bên kia, dù dây dãn nhanh hơn kiến bò hàng nghìn lần. Bí mật nằm ở chỗ khi dây dãn, nó kéo cả con kiến đi theo, nên phần dây kiến đã bò qua không bao giờ mất đi. Toán học của bài đố này là chuỗi điều hoà 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, một tổng tăng rất chậm nhưng lớn vô hạn.
Đề bài
Một sợi dây chun dài 1 km, một đầu buộc cố định vào cột, đầu kia đang bị kéo ra xa với tốc độ 1 km mỗi giây. Một con kiến xuất phát từ đầu buộc cố định, bò về phía đầu đang bị kéo với tốc độ 1 cm mỗi giây. Dây chun dãn mãi, không bao giờ đứt. Hỏi con kiến có tới được đầu bên kia không?
Trực giác gần như ai cũng trả lời "không": kiến bò 1 cm thì dây dài thêm 1 km, khoảng cách tới đích tăng mãi. Bài đố này lan truyền từ khoảng thập niên 1970 qua các chuyên mục toán giải trí chính vì trực giác sai một cách thú vị.
Điều trực giác bỏ quên
Cầm một sợi dây chun to bản, dùng bút dạ đánh dấu các chấm cách nhau 2 cm. Kéo dãn dây ra gấp đôi: mọi chấm đều dịch ra, khoảng cách giữa chúng thành 4 cm. Chấm ở giữa dây vẫn nằm ở giữa dây. Chấm ở một phần ba vẫn ở một phần ba.
Đó là chìa khoá: khi dây dãn đều, mọi điểm trên dây giữ nguyên vị trí theo tỉ lệ. Con kiến đang đứng ở 10% chiều dài dây, sau khi dây dãn, vẫn đứng ở 10% — dây kéo nó đi theo. Nó không bị tụt lại. Phần nó bò thêm cộng dồn vào tỉ lệ ấy.
Vậy thay vì hỏi "kiến cách đích bao nhiêu mét" (con số tăng mãi), ta hỏi "kiến đã đi được bao nhiêu phần của dây". Con số này chỉ tăng, không bao giờ giảm.
Tính từng giây: chuỗi điều hoà xuất hiện
Để dễ tính, xét phiên bản "giật cục": mỗi giây, kiến bò 1 cm, rồi dây dãn đột ngột thêm 1 km.
- Giây thứ 1: dây dài 1 km. Kiến bò 1 cm, tức 1/100 000 chiều dài dây.
- Giây thứ 2: dây dài 2 km. Kiến bò 1 cm, tức 1/200 000 chiều dài dây.
- Giây thứ 3: dây dài 3 km. Kiến bò thêm 1/300 000.
- Giây thứ n: kiến bò thêm 1/(100 000 × n).
Sau n giây, phần dây kiến đã đi là:
(1/100 000) × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)
Kiến tới đích khi phần này bằng 1, tức khi tổng 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n vượt 100 000. Tổng này có tên là số điều hoà thứ n, ký hiệu Hₙ.
Chuỗi điều hoà có lớn mãi không
Các số hạng 1/n nhỏ dần về 0, nên nhiều người đoán tổng của chúng dừng ở một giới hạn nào đó. Nhưng không. Cách chứng minh đẹp nhất đã có từ thế kỷ 14, thường được ghi nhận cho nhà triết học Pháp Nicole Oresme. Ý tưởng là gom nhóm:
- 1/3 + 1/4 lớn hơn 1/4 + 1/4 = 1/2
- 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 lớn hơn 4 × 1/8 = 1/2
- Tám số tiếp theo, từ 1/9 tới 1/16, lớn hơn 8 × 1/16 = 1/2
- … mỗi nhóm dài gấp đôi nhóm trước đều lớn hơn 1/2.
Có vô số nhóm, mỗi nhóm góp hơn 1/2, nên tổng lớn vô hạn. Muốn vượt bất kỳ con số nào, chỉ cần cộng đủ nhiều số hạng.
Nhưng chậm khủng khiếp
| Muốn tổng Hₙ vượt | Cần ít nhất n = |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 3 | 11 |
| 4 | 31 |
| 5 | 83 |
| 6 | 227 |
| 7 | 616 |
| 10 | 12 367 |
Bạn có thể kiểm tra dòng đầu bằng tay: 1 + 0,5 + 0,333 + 0,25 ≈ 2,08. Để ý mỗi khi muốn tăng tổng thêm 1, số số hạng cần cộng gấp lên khoảng 2,7 lần — đó chính là số e ≈ 2,718. Lý do: Hₙ xấp xỉ bằng ln n + 0,577, trong đó ln là logarit tự nhiên và 0,577… là hằng số Euler–Mascheroni.
Con kiến mất bao lâu
Quay lại con kiến: cần Hₙ vượt 100 000. Theo công thức xấp xỉ, ln n ≈ 100 000 − 0,577, tức n ≈ e mũ (khoảng 99 999,4). Đổi sang lũy thừa của 10: n vào khoảng 10 mũ 43 429 giây — một con số có hơn bốn vạn chữ số.
So sánh cho dễ hình dung: tuổi của vũ trụ, khoảng 13,8 tỉ năm, chỉ vào cỡ 4 × 10¹⁷ giây, tức một con số 18 chữ số. Con kiến cần thời gian dài hơn tuổi vũ trụ nhiều đến mức không có phép so sánh nào đủ sức diễn tả. Và tất nhiên, không con kiến hay sợi dây thật nào tồn tại lâu như thế.
Nhưng câu hỏi toán học là "có tới được không", và câu trả lời là có. Phiên bản dây dãn liên tục (không giật cục) cho kết quả gần như y hệt: thời gian khoảng (chiều dài dây ÷ tốc độ dãn) × (e mũ (tốc độ dãn ÷ tốc độ kiến) − 1).
Một phiên bản vừa sức để kiểm chứng
Để thấy kiến thật sự tới đích trong thời gian "người thường" đếm được, đổi số liệu: dây ban đầu dài 10 cm, mỗi giây dãn thêm 10 cm, kiến bò 1 cm mỗi giây.
- Giây thứ n, kiến đi thêm 1/(10 × n) chiều dài dây.
- Tới đích khi Hₙ vượt 10.
- Theo bảng trên: n = 12 367 giây, khoảng 3 giờ 26 phút.
Lúc đó dây đã dài hơn 1,2 km! Kiến chỉ bò tổng cộng hơn 120 m, nhưng nhờ dây kéo theo, nó đã ở đầu bên kia của một sợi dây dài gấp hơn mười hai nghìn lần ban đầu.
Tự thử với dây chun và máy tính
Phần 1: thấy điểm giữ tỉ lệ
- Lấy một sợi dây chun bản rộng (loại may quần áo), dài khoảng 20 cm. Dùng bút dạ chấm 11 điểm cách đều 2 cm, đánh số 0 đến 10.
- Một bạn giữ đầu số 0 trên mặt bàn. Bạn kia kéo đầu số 10 cho dây dài 30 cm, rồi 40 cm. Đặt thước đo vị trí chấm số 3 mỗi lần.
- Ghi bảng: dây 20 cm thì chấm 3 ở 6 cm; dây 30 cm thì ở 9 cm; dây 40 cm thì ở 12 cm. Luôn là 30% chiều dài.
Kéo vừa phải, không kéo căng hết cỡ, và không buông tay đột ngột để dây bật vào mặt.
Phần 2: cộng chuỗi điều hoà trên bảng tính
- Mở bảng tính (Excel, Google Trang tính). Cột A điền 1, 2, 3… đến 20 000.
- Ô B1 gõ công thức =1/A1. Ô B2 gõ =B1+1/A2, rồi kéo công thức xuống hết cột.
- Tìm dòng đầu tiên cột B vượt 10. Bạn sẽ thấy đúng dòng 12 367.
Thử tìm dòng đầu tiên vượt 5, vượt 8, rồi so với ln n + 0,577 để thấy công thức xấp xỉ khớp đến mức nào.
Bài học mang về
- Đổi câu hỏi để thấy lời giải. Hỏi "còn cách bao xa" thì bế tắc; hỏi "đã đi được bao nhiêu phần" thì sáng tỏ. Đây là kỹ năng giải toán quý hơn bất kỳ công thức nào.
- Tăng chậm khác với dừng lại. Chuỗi điều hoà tăng chậm đến mức máy tính cộng hàng tỉ số hạng cũng chỉ được khoảng 21–22, nhưng nó không bao giờ dừng.
- Hình ảnh vũ trụ dãn nở. Các nhà vật lý đôi khi dùng hình ảnh con kiến trên dây chun để gợi ý vì sao ánh sáng từ những thiên hà rất xa vẫn có thể tới được chúng ta dù không gian giữa hai bên đang dãn ra. Đây chỉ là phép so sánh gần đúng; vật lý vũ trụ thật phức tạp hơn và phụ thuộc cách vũ trụ dãn nở theo thời gian.
Câu hỏi thường gặp
Con kiến trên dây chun dãn mãi có tới được đầu kia không?
Có, nếu dây dãn đều và không đứt. Khi dây dãn, nó kéo con kiến đi theo, nên phần dây kiến đã bò qua tính theo tỉ lệ không bao giờ giảm. Tổng các phần ấy là chuỗi điều hoà, lớn vô hạn, nên cuối cùng sẽ vượt 1.
Chuỗi điều hoà là gì?
Chuỗi điều hoà là tổng 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … cộng mãi. Các số hạng nhỏ dần về 0 nhưng tổng vẫn lớn vô hạn, điều được chứng minh từ thế kỷ 14 bằng cách gom các số hạng thành nhóm, mỗi nhóm lớn hơn 1/2.
Cần cộng bao nhiêu số hạng chuỗi điều hoà để vượt 10?
Cần 12 367 số hạng. Tổng chuỗi điều hoà xấp xỉ ln n + 0,577, nên muốn tổng tăng thêm 1, số số hạng phải gấp lên khoảng 2,7 lần. Để vượt 4 chỉ cần 31 số hạng, để vượt 5 cần 83.
Con kiến trên dây chun 1 km mất bao lâu?
Với dây dài 1 km dãn thêm 1 km mỗi giây và kiến bò 1 cm mỗi giây, thời gian vào khoảng 10 mũ 43 429 giây. Con số này lớn hơn tuổi vũ trụ, khoảng 4 × 10¹⁷ giây, một cách không thể hình dung, nhưng vẫn là hữu hạn.
