Đồ thị quãng đường – thời gian của một cuộc đua thuyền cho bạn biết gần như mọi điều về cuộc đua: thuyền nào xuất phát nhanh, thuyền nào đuối sức cuối đường, vượt nhau ở giây thứ mấy, về đích cách nhau bao xa. Quy tắc đọc chỉ có ba: đường càng dốc là thuyền càng nhanh; hai đường cắt nhau là lúc hai thuyền ngang nhau; khoảng cách theo chiều dọc giữa hai đường là khoảng cách giữa hai thuyền trên mặt nước.
Đồ thị quãng đường – thời gian là gì
Đồ thị quãng đường – thời gian vẽ trên hai trục:
- Trục ngang là thời gian, tính từ lúc xuất phát (giây).
- Trục dọc là quãng đường thuyền đã đi được (mét).
Mỗi điểm trên đồ thị trả lời câu hỏi: "ở giây thứ t, thuyền đã đi được bao nhiêu mét". Nối các điểm lại, ta được một đường — đường đi của thuyền, nhưng không phải trên mặt sông mà trên "mặt phẳng thời gian".
Một lỗi rất hay gặp là tưởng hình dạng đồ thị giống hình dạng đường đua. Không phải. Thuyền đua chạy thẳng trên làn của mình, nhưng đồ thị vẫn có thể cong — vì nó cong theo tốc độ, không theo hướng đi.
Ba quy tắc đọc đồ thị
| Bạn thấy trên đồ thị | Nghĩa là trên mặt nước |
|---|---|
| Đường thẳng dốc đều | Thuyền đi với tốc độ không đổi |
| Đường dốc hơn | Thuyền nhanh hơn |
| Đường nằm ngang | Thuyền đứng yên (quãng đường không tăng) |
| Đường cong lên, dốc dần | Thuyền đang tăng tốc |
| Đường cong xuống, thoải dần | Thuyền đang chậm lại |
| Hai đường cắt nhau | Hai thuyền ngang nhau ở thời điểm đó — một thuyền vượt thuyền kia |
| Khoảng cách dọc giữa hai đường | Thuyền này hơn thuyền kia bao nhiêu mét |
| Khoảng cách ngang giữa hai đường | Thuyền này tới cùng một mốc sớm hơn thuyền kia bao nhiêu giây |
Độ dốc của đường có một tên riêng trong toán: hệ số góc. Với đồ thị quãng đường – thời gian, hệ số góc chính là tốc độ: tăng bao nhiêu mét chia cho mất bao nhiêu giây.
Một cuộc đua 500 m giả định
Hai thuyền A và B đua cự ly 500 m, một cự ly hay gặp trong đua thuyền rồng. Số liệu dưới đây là số giả định, dựng ra để luyện đọc đồ thị, không phải kết quả một giải thật. Trọng tài ghi lại vị trí mỗi thuyền cứ 20 giây một lần:
| Thời gian (s) | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Thuyền A (m) | 0 | 95 | 185 | 272 | 357 | 438 |
| Thuyền B (m) | 0 | 88 | 178 | 268 | 358 | 448 |
Sau giây 100, thuyền A giữ tốc độ 3,85 m/s, thuyền B giữ 4,5 m/s cho tới đích.
Bước 1: vẽ đồ thị
Lấy giấy kẻ ô. Trục ngang: 1 ô = 10 giây, vẽ đến 120 giây. Trục dọc: 1 ô = 25 m, vẽ đến 525 m. Chấm các điểm của A bằng bút đỏ, của B bằng bút xanh, nối lại. Kẻ một đường ngang ở mức 500 m: vạch đích.
Bước 2: tính tốc độ từng chặng
| Chặng (s) | Tốc độ A (m/s) | Tốc độ B (m/s) | Ai nhanh hơn |
|---|---|---|---|
| 0–20 | 95 ÷ 20 = 4,75 | 88 ÷ 20 = 4,40 | A |
| 20–40 | 90 ÷ 20 = 4,50 | 90 ÷ 20 = 4,50 | Ngang nhau |
| 40–60 | 87 ÷ 20 = 4,35 | 4,50 | B |
| 60–80 | 85 ÷ 20 = 4,25 | 4,50 | B |
| 80–100 | 81 ÷ 20 = 4,05 | 4,50 | B |
| Sau 100 | 3,85 | 4,50 | B |
Câu chuyện hiện ra rõ ràng: A xuất phát bùng nổ nhưng chậm dần đều; B xuất phát chậm hơn rồi giữ nhịp rất đều. Trên đồ thị, đường của A là một đường cong thoải dần, đường của B gần như thẳng tắp.
Đọc ra những khoảnh khắc quyết định
Khi nào A dẫn xa nhất?
Tìm chỗ khoảng cách dọc giữa hai đường lớn nhất. Ở giây 20, A hơn B 7 m; ở giây 40, vẫn hơn 7 m (vì chặng 20–40 hai thuyền bằng tốc độ). Sau đó khoảng cách co lại. Vậy A dẫn xa nhất khoảng 7 m, trong suốt chặng 20–40 giây.
Khi nào B vượt?
Ở giây 60, A hơn B 4 m. Trong chặng 60–80, B nhanh hơn A 4,50 − 4,25 = 0,25 m/s, tức mỗi giây rút ngắn 0,25 m. Muốn xoá 4 m cần 4 ÷ 0,25 = 16 giây. Vậy B vượt A ở giây thứ 76. Trên đồ thị, đó là giao điểm của hai đường. Kiểm lại bằng bảng: ở giây 80, B hơn A 1 m — khớp.
Ai về nhất, cách bao xa?
- B còn 500 − 448 = 52 m sau giây 100, mất 52 ÷ 4,5 ≈ 11,6 giây. B về đích ở khoảng 111,6 giây.
- A còn 500 − 438 = 62 m, mất 62 ÷ 3,85 ≈ 16,1 giây. A về đích ở khoảng 116,1 giây.
- Khi B cán đích, A mới ở khoảng 438 + 3,85 × 11,6 ≈ 483 m, tức kém khoảng 17 m.
Hai con số "cách 4,5 giây" và "cách 17 m" chính là khoảng cách ngang và khoảng cách dọc giữa hai đường tại vạch đích. Bình luận viên hay dùng cả hai: giây khi nói thành tích, mét khi tả cảnh trên mặt nước.
Tốc độ trung bình
Tốc độ trung bình của B là 500 ÷ 111,6 ≈ 4,48 m/s, của A là 500 ÷ 116,1 ≈ 4,31 m/s. Trên đồ thị, tốc độ trung bình là độ dốc của đoạn thẳng nối điểm xuất phát với điểm về đích — kẻ thử bằng thước để thấy.
Đồ thị vận tốc – thời gian: người anh em
Nếu vẽ tốc độ (trục dọc) theo thời gian (trục ngang), bạn được đồ thị vận tốc – thời gian. Với số liệu trên, đường của B là một đường nằm ngang ở mức 4,5 m/s (sau chặng đầu), còn đường của A là các bậc thang đi xuống.
Điều thú vị: diện tích nằm dưới đường vận tốc chính là quãng đường. Chặng 20–40 của A: hình chữ nhật cao 4,5 m/s, rộng 20 s, diện tích 90 m — đúng bằng quãng A đi trong chặng ấy. Đây là ý tưởng mầm của phép tích phân mà học sinh sẽ gặp ở lớp 12.
Một chi tiết từ môn chèo thuyền: thời gian cho 500 m
Trong môn chèo thuyền (rowing), các máy chèo tập luyện và người huấn luyện thường không nói tốc độ bằng m/s mà bằng thời gian để đi 500 m theo nhịp hiện tại, gọi là "split". Split 1 phút 50 giây nghĩa là nếu giữ nhịp này, mất 110 giây cho 500 m, tức khoảng 4,55 m/s.
Cách nói này "lộn ngược" tốc độ: split càng nhỏ, thuyền càng nhanh. Trên đồ thị, nó tương ứng với khoảng cách ngang giữa vạch xuất phát và vạch 500 m nếu thuyền giữ nhịp. Đổi qua lại hai cách nói là một bài luyện chia rất tốt: tốc độ (m/s) = 500 ÷ split (giây).
Tự thử: đua đi bộ trong sân trường
Bạn không cần thuyền để có số liệu thật. Cần một sân dài khoảng 50 m, phấn, đồng hồ bấm giây trên điện thoại, và 4–5 bạn.
- Vạch phấn một đường thẳng dài 50 m, đánh dấu mỗi 5 m.
- Hai bạn "thuyền" cùng đi bộ từ vạch xuất phát (đi, không chạy), mỗi bạn chọn một kiểu: bạn A đi nhanh lúc đầu rồi chậm dần; bạn B đi đều từ đầu tới cuối.
- Một bạn cầm đồng hồ hô mỗi 5 giây; hai bạn "trọng tài" đứng bên đường ghi vị trí của từng "thuyền" theo vạch gần nhất.
- Về lớp, lập bảng như ví dụ trên, vẽ đồ thị, tìm điểm vượt và tính khoảng cách về đích.
Mục đích là đọc đồ thị, không phải ai nhanh hơn ai; mỗi bạn lần lượt làm "thuyền" và làm "trọng tài". Một biến thể hay: bạn A dừng lại đứng yên 5 giây giữa đường — trên đồ thị sẽ xuất hiện một đoạn nằm ngang.
Câu hỏi thường gặp
Đồ thị quãng đường – thời gian cho biết điều gì?
Đồ thị quãng đường – thời gian cho biết ở mỗi thời điểm vật đã đi được bao xa. Độ dốc của đường là tốc độ: dốc nhiều là nhanh, nằm ngang là đứng yên, cong lên là đang tăng tốc. Hai đường cắt nhau là lúc hai vật ngang nhau.
Làm sao tính tốc độ từ đồ thị quãng đường – thời gian?
Chọn hai điểm trên đường, lấy hiệu quãng đường chia cho hiệu thời gian. Ví dụ thuyền đi từ 185 m ở giây 40 tới 272 m ở giây 60 thì tốc độ là 87 ÷ 20 = 4,35 m/s. Đây chính là hệ số góc của đoạn thẳng nối hai điểm.
Hai đường trên đồ thị cắt nhau có nghĩa là gì?
Giao điểm của hai đường quãng đường – thời gian là thời điểm hai vật ở cùng một vị trí. Trong cuộc đua, đó là khoảnh khắc thuyền phía sau đuổi kịp và vượt thuyền phía trước. Toạ độ ngang của giao điểm cho biết thời điểm vượt.
Diện tích dưới đồ thị vận tốc – thời gian là gì?
Diện tích nằm dưới đường vận tốc trên đồ thị vận tốc – thời gian bằng quãng đường đã đi. Với vận tốc không đổi, đó là diện tích hình chữ nhật: vận tốc nhân thời gian. Đây là ý tưởng nền của phép tích phân.
Split 500 m trong chèo thuyền là gì?
Split là thời gian cần để đi 500 m nếu giữ nguyên nhịp chèo hiện tại, dùng phổ biến trên máy chèo và trong huấn luyện môn chèo thuyền. Split càng nhỏ thì càng nhanh. Đổi ra tốc độ bằng cách lấy 500 chia cho split tính bằng giây.
