Muốn nối hai cung tròn thành một chữ S mượt, chỉ cần nhớ một điều: tâm của cung thứ nhất, điểm nối và tâm của cung thứ hai phải nằm trên cùng một đường thẳng. Khi đó hai cung có chung tiếp tuyến tại điểm nối, nét vẽ chuyển từ cong trái sang cong phải mà không có góc gãy. Thợ vẽ kỹ thuật, thợ mộc, thợ làm biển hiệu đã dựng đường lượn bằng compa theo quy tắc này hàng trăm năm trước khi có máy tính.
Vì sao phải nối cung tròn
Compa chỉ vẽ được một loại đường cong: đường tròn. Vậy mà người xưa vẫn dựng được vòm cửa, mép tủ chạm, đường viền hoa văn, nét chữ uốn lượn — bằng cách ghép nhiều cung tròn có bán kính khác nhau sao cho chỗ nối không lộ.
Cách làm này có ba ưu điểm rất thực tế:
- Dựng được bằng dụng cụ đơn giản: compa, thước, hoặc ngoài công trường là một cái cọc và một sợi dây.
- Đo đạc và lặp lại chính xác: chỉ cần ghi tâm và bán kính, người khác dựng lại được y hệt.
- Dễ gia công: máy tiện, máy phay, cưa vòng đều làm cung tròn dễ hơn mọi đường cong khác.
Quy tắc vàng: ba điểm thẳng hàng
Ở mọi điểm trên đường tròn, tiếp tuyến luôn vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. Muốn hai cung nối nhau mượt tại điểm M, tiếp tuyến của hai cung tại M phải trùng nhau. Vì cả hai tiếp tuyến đều vuông góc với bán kính tương ứng, nên hai bán kính O₁M và O₂M phải nằm trên cùng một đường thẳng.
- Nếu O₁ và O₂ cùng phía với M (một tâm nằm giữa đoạn kia), hai cung cong cùng chiều: ta được một đường cong "đổi độ cong" như vòm ba tâm.
- Nếu O₁ và O₂ khác phía M, hai cung cong ngược chiều: ta được chữ S.
Nhà toán học gọi kiểu nối này là nối "liên tục về hướng" — đường không gãy góc. Tuy vậy, độ cong vẫn nhảy bậc đột ngột tại điểm nối (từ 1/R₁ sang −1/R₂). Mắt người thường không thấy, nhưng ở một số ứng dụng, cú nhảy ấy lại rất quan trọng — xem mục về đường bộ, đường sắt ở dưới.
Dựng chữ S nối hai đường song song
Bài toán thường gặp nhất: hai đường thẳng song song lệch nhau (như hai làn đường, hai mép kệ), cần một nét chữ S nối mượt từ điểm A trên đường dưới sang điểm B trên đường trên.
Chuẩn bị: giấy A4, bút chì, thước, compa, ê ke.
- Kẻ hai đường thẳng nằm ngang song song cách nhau 4 cm. Trên đường dưới chọn điểm A, trên đường trên chọn điểm B lệch sang phải 12 cm so với A.
- Nối A với B. Lấy trung điểm M của đoạn AB. M sẽ là điểm uốn của chữ S.
- Tại A, dùng ê ke kẻ một đường thẳng vuông góc với đường dưới (hướng lên). Tâm O₁ của cung thứ nhất nằm trên đường này, vì cung phải tiếp xúc với đường dưới tại A.
- Dựng đường trung trực của đoạn AM (dùng compa vẽ hai cung từ A và M cắt nhau, nối hai giao điểm). Giao điểm của trung trực với đường vuông góc ở bước 3 là O₁.
- Tương tự, tại B kẻ đường vuông góc hướng xuống, dựng trung trực của MB, được O₂.
- Đặt compa tại O₁, bán kính O₁A, vẽ cung từ A đến M. Đặt compa tại O₂, bán kính O₂B, vẽ cung từ M đến B.
Kiểm tra: dùng thước đặt qua O₁ và O₂ — đường thẳng phải đi đúng qua M. Nếu lệch, có thể do dựng trung trực chưa chuẩn.
Vì sao cách dựng này đúng
O₁ nằm trên trung trực của AM nên O₁A = O₁M: điểm M đúng là nằm trên đường tròn tâm O₁. Cả hình đối xứng qua tâm M (xoay 180° quanh M thì A thành B, O₁ thành O₂), nên O₁, M, O₂ thẳng hàng — đúng quy tắc vàng.
Tính bán kính bằng một công thức
Không cần dựng, ta có thể tính trước bán kính. Gọi d là khoảng lệch ngang giữa A và B, h là khoảng cách giữa hai đường song song. Với chữ S đối xứng (hai cung bằng nhau), mỗi cung phải đi được nửa khoảng lệch ngang d/2 và nửa khoảng lệch dọc h/2. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông có cạnh huyền R:
R = (d² + h²) ÷ (4h)
| Lệch ngang d | Lệch dọc h | Bán kính R mỗi cung | Nhận xét |
|---|---|---|---|
| 12 cm | 4 cm | (144 + 16) ÷ 16 = 10 cm | Chữ S thoải, như ví dụ dựng hình ở trên |
| 8 cm | 4 cm | (64 + 16) ÷ 16 = 5 cm | Chữ S gắt hơn |
| 4 cm | 4 cm | (16 + 16) ÷ 16 = 2 cm | Hai cung là hai phần tư đường tròn |
| 20 cm | 2 cm | (400 + 4) ÷ 8 = 50,5 cm | Lượn rất nhẹ, như làn xe chuyển làn |
Kiểm tra với ví dụ dựng hình: d = 12, h = 4 cho R = 10 cm. Đo O₁A trên hình vẽ của bạn, phải ra khoảng 10 cm. Công thức cũng cho thấy một điều thú vị: lệch dọc càng nhỏ so với lệch ngang thì bán kính càng lớn, chữ S càng "duỗi".
Chữ S trong hình âm dương: hai nửa vòng tròn
Một chữ S nổi tiếng dựng bằng compa là đường cong chia đôi hình tròn trong biểu tượng âm dương (thái cực đồ). Đường cong đó gồm hai nửa đường tròn, mỗi nửa có bán kính bằng một nửa bán kính hình tròn lớn, tâm nằm trên cùng một đường kính. Ba điểm — tâm nửa trên, tâm hình tròn lớn, tâm nửa dưới — thẳng hàng, nên đường cong mượt.
Từ góc nhìn toán, đây là một bài tập tính diện tích đẹp: đường chữ S chia hình tròn thành hai phần bằng nhau. Lý do: phần "thêm vào" của nửa đường tròn nhỏ bên này đúng bằng phần "bớt đi" bên kia. Học sinh lớp 6–7 có thể kiểm tra bằng cách cắt giấy và chồng hai phần lên nhau. (Ở đây ta chỉ bàn hình học, không bàn ý nghĩa triết học của biểu tượng.)
Đường lượn của thợ vẽ: vòm, chân tủ, nét chữ
Đường ogee
Chữ S ghép từ hai cung tròn trong kiến trúc và nghề mộc phương Tây có tên là ogee. Nó xuất hiện ở đường gờ trang trí chân tường, mép mặt bàn, chân tủ, và ở một kiểu vòm cửa có đỉnh nhọn tạo bởi hai chữ S đối nhau. Vòm nhọn Gothic là một đề tài kiến trúc riêng, bài này chỉ mượn cách dựng hình của nó.
Đường "của vẻ đẹp"
Họa sĩ người Anh William Hogarth trong sách The Analysis of Beauty (1753) gọi đường chữ S là "đường của vẻ đẹp". Câu chuyện mỹ thuật của đường này có bài riêng ở mục Nét lượn trong mỹ thuật trên trang này. Điều đáng nói ở đây là: nhiều đường chữ S trong đồ gỗ, khung tranh thời đó được dựng bằng compa theo đúng cách ghép cung.
Nét chữ và logo
Trước khi có phần mềm đồ hoạ, thợ vẽ chữ và họa sĩ thiết kế dựng nét cong của chữ S, chữ C, chữ G bằng compa và thước cong. Ngày nay phần mềm dùng đường Bézier, nhưng bài tập dựng chữ S bằng hai cung tròn vẫn có mặt trong nhiều giáo trình vẽ kỹ thuật vì nó rèn cảm giác về tiếp tuyến.
Khi hai cung tròn chưa đủ: đường bộ, đường sắt
Nếu làm một đoạn đường chữ S chỉ từ hai cung tròn, tài xế sẽ thấy một điều khó chịu: ở điểm nối, vô lăng phải xoay đột ngột từ đánh lái trái sang đánh lái phải, vì độ cong nhảy bậc. Với tàu hỏa, hành khách cảm nhận cú giật ngang.
Vì vậy, trong thiết kế đường bộ và đường sắt, người ta thường chèn giữa hai cung một đoạn đường cong chuyển tiếp (độ cong thay đổi từ từ, đường clothoid) hoặc một đoạn thẳng ngắn. Đó là ví dụ đẹp về việc "mượt về hướng" chưa phải là "mượt về cảm giác". Nhưng với bút chì trên giấy, với khung gỗ, với đường viền hoa văn, hai cung tròn là quá đủ.
Thử thách cho người thích dựng hình
- Chữ S không đối xứng: giữ A và B như ví dụ, nhưng chọn điểm nối M không nằm ở trung điểm. Tìm O₁ và O₂ thế nào? Gợi ý: O₁ vẫn ở trên đường vuông góc tại A, và O₁, M, O₂ vẫn phải thẳng hàng.
- Dải sóng bốn khúc: dựng bốn cung bán kính 3 cm nối tiếp, xen kẽ trái phải, tâm nằm luân phiên trên hai đường thẳng song song cách nhau bao nhiêu? (Gợi ý: nếu mỗi cung là nửa đường tròn, các tâm nằm trên cùng một đường thẳng.)
- Vòm ba tâm: dựng một vòm cửa rộng 12 cm, cao 4 cm bằng ba cung tròn: hai cung nhỏ ở chân, một cung lớn ở đỉnh, nối mượt.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao nối hai cung tròn cho mượt?
Tâm của cung thứ nhất, điểm nối và tâm của cung thứ hai phải nằm trên cùng một đường thẳng. Khi đó hai cung có chung tiếp tuyến tại điểm nối nên không có góc gãy. Nếu hai tâm ở hai phía điểm nối, đường cong thành chữ S.
Cách vẽ chữ S bằng compa?
Chọn hai điểm A, B trên hai đường song song, lấy trung điểm M của AB. Tâm cung thứ nhất là giao của đường vuông góc tại A với trung trực của AM; tâm cung thứ hai làm tương tự ở B. Vẽ cung từ A tới M rồi từ M tới B.
Công thức tính bán kính chữ S nối hai đường song song là gì?
Với chữ S đối xứng gồm hai cung bằng nhau, lệch ngang d và lệch dọc h, bán kính mỗi cung là R = (d² + h²) ÷ (4h). Ví dụ lệch ngang 12 cm, lệch dọc 4 cm thì R = 10 cm.
Đường ogee là gì?
Ogee là đường chữ S ghép từ một cung lồi và một cung lõm, dùng nhiều trong gờ trang trí, đồ gỗ và một kiểu vòm cửa trong kiến trúc phương Tây. Nó thường được dựng bằng hai cung tròn nối nhau có chung tiếp tuyến.
Vì sao đường bộ không làm chữ S chỉ bằng hai cung tròn?
Vì tại điểm nối hai cung tròn ngược chiều, độ cong đổi đột ngột, tài xế phải đánh lái gấp và hành khách bị giật ngang. Người thiết kế đường thường chèn đường cong chuyển tiếp hoặc đoạn thẳng ngắn để độ cong thay đổi từ từ.
